Ejercicios: Función exponencial

y = a^{x}

con a >

0 y a \neq 1

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá el dominio, la imagen y la asíntota de $f(x) = 3^{x} + 4$ , e indicá si crece o decrece.

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1. Analizamos el dominio. Cualquier real sirve como exponente, así que el dominio es todo $\mathbb{R}$ .

2. Analizamos la imagen de la exponencial sola. $3^{x}$ toma todos los valores positivos, sin llegar nunca al cero.

3. Aplicamos el corrimiento. Sumar $4$ sube todo el gráfico, así que la imagen pasa a ser $y > 4$ y la asíntota horizontal pasa de $y = 0$ a $y = 4$ .

4. Decidimos el crecimiento. La base es $3$ , mayor que uno, así que la función crece, y cada vez más rápido.

Respuesta: dominio $\mathbb{R}$ , imagen $(4, +\infty)$ , asíntota $y = 4$ , creciente

2. Un cultivo arranca con $400$ bacterias y se multiplica por $3$ cada hora. Escribí la fórmula de la población y calculá cuántas hay a las $3$ horas.

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1. Identificamos el valor inicial. A las cero horas hay $400$ : ese es el factor que va adelante.

2. Identificamos el factor por período. Cada hora se multiplica por $3$ , así que a las $t$ horas se multiplicó $t$ veces.

3. Escribimos la fórmula. $P(t) = 400 \cdot 3^{t}$

4. Evaluamos en el tiempo pedido. $P(3) = 400 \cdot 3^{3} = 400 \cdot 27 = 10800$ bacterias.

Respuesta: $P(t) = 400 \cdot 3^{t}$ y $P(3) = 10800$

3. Dos funciones toman estos valores en $x = 0, 1, 2, 3$ . La primera: $2$ , $9$ , $16$ , $23$ . La segunda: $2$ , $8$ , $32$ , $128$ . Decidí cuál es lineal y cuál exponencial, y escribí sus fórmulas.

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1. Miramos las diferencias de la primera. $9 - 2 = 7$ , $16 - 9 = 7$ y $23 - 16 = 7$ : suma siempre lo mismo.

2. Miramos los cocientes de la segunda. $\dfrac{8}{2} = 4$ , $\dfrac{32}{8} = 4$ y $\dfrac{128}{32} = 4$ : multiplica siempre por lo mismo.

3. Aplicamos el criterio. Sumar una cantidad fija por cada unidad es crecimiento lineal; multiplicar por un factor fijo es crecimiento exponencial.

4. Escribimos las fórmulas. La primera es $f(x) = 7 x + 2$ y la segunda $g(x) = 2 \cdot 4^{x}$ , las dos con el mismo valor inicial $2$ .

Respuesta: la primera es lineal, $f(x) = 7 x + 2$ ; la segunda es exponencial, $g(x) = 2 \cdot 4^{x}$

4. Resolvé $2^{x + 12} = 8^{x}$ igualando las bases.

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1. Escribimos todo con la misma base. $8 = 2^{3}$ , así que $8^{x} = 2^{3x}$ .

2. Reescribimos la ecuación. $2^{x + 12} = 2^{3x}$

3. Igualamos los exponentes. La exponencial es inyectiva, así que si las potencias coinciden los exponentes también: $x + 12 = 3x$ .

4. Despejamos y verificamos. $12 = 2x$ , entonces $x = 6$ . Reemplazando, los dos lados dan $2^{18}$ .

Respuesta: $x = 6$

5. Compará los valores de $g(x) = 2^{x}$ y $h(x) = x^{2}$ en $x = 2$ , $x = 2$ y $x = 10$ , y decidí cuál termina siendo mayor.

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1. Evaluamos en $x = 2$ . $g(2) = 4$ y $h(2) = 4$ .

2. Evaluamos en la base. $g(2) = 4$ y $h(2) = 4$ : acá empatan.

3. Evaluamos en $x = 10$ . $g(10) = 1024$ y $h(10) = 100$ .

4. Concluimos. En la exponencial la variable está en el exponente y en la potencia está en la base. A la larga, cualquier exponencial de base mayor que uno supera a cualquier potencia.

Respuesta: gana la exponencial $2^{x}$ para valores grandes de $x$

6. Una sustancia se reduce a la mitad cada día y hoy hay $960$ mg. Escribí la fórmula de la cantidad y calculá cuánto queda a los $2$ días.

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1. Identificamos el valor inicial. Hoy, con $t = 0$ , hay $960$ mg.

2. Identificamos el factor por período. Reducirse a la mitad es multiplicar por $\dfrac{1}{2}$ cada día, no restar una cantidad fija.

3. Escribimos la fórmula. $C(t) = 960 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t}$

4. Evaluamos en el tiempo pedido. $C(2) = \dfrac{960}{4} = 240$ mg.

Respuesta: $C(t) = 960 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t}$ y $C(2) = 240$ mg

7. Dos funciones toman estos valores en $x = 0, 1, 2, 3$ . La primera: $3$ , $7$ , $11$ , $15$ . La segunda: $3$ , $6$ , $12$ , $24$ . Decidí cuál es lineal y cuál exponencial, y escribí sus fórmulas.

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1. Miramos las diferencias de la primera. $7 - 3 = 4$ , $11 - 7 = 4$ y $15 - 11 = 4$ : suma siempre lo mismo.

2. Miramos los cocientes de la segunda. $\dfrac{6}{3} = 2$ , $\dfrac{12}{6} = 2$ y $\dfrac{24}{12} = 2$ : multiplica siempre por lo mismo.

3. Aplicamos el criterio. Sumar una cantidad fija por cada unidad es crecimiento lineal; multiplicar por un factor fijo es crecimiento exponencial.

4. Escribimos las fórmulas. La primera es $f(x) = 4 x + 3$ y la segunda $g(x) = 3 \cdot 2^{x}$ , las dos con el mismo valor inicial $3$ .

Respuesta: la primera es lineal, $f(x) = 4 x + 3$ ; la segunda es exponencial, $g(x) = 3 \cdot 2^{x}$

8. Resolvé $5^{x^{2}} = 25^{x + 6}$ igualando las bases.

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1. Escribimos todo con la misma base. $25 = 5^{2}$ , así que el derecho es $5^{2(x + 6)}$ .

2. Igualamos los exponentes. $x^{2} = 2x + 12$

3. Armamos y resolvemos la cuadrática. $x^{2} - 2x - 12 = 0$ , con soluciones $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2} = 1 \pm \sqrt{13}$ .

4. Escribimos el resultado. Las dos sirven: la exponencial acepta cualquier exponente, así que acá no hay soluciones para descartar.

Respuesta: $x = 1 + \sqrt{13}$ y $x = 1 - \sqrt{13}$

9. Hallá el dominio, la imagen y la asíntota de $f(x) = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}$ , e indicá si crece o decrece.

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1. Analizamos el dominio. Todo real sirve como exponente: el dominio es $\mathbb{R}$ .

2. Analizamos la imagen. La base es positiva, así que la potencia siempre da positivo y nunca cero.

3. Decidimos el crecimiento. La base $\dfrac{1}{3}$ está entre cero y uno, así que la función decrece.

4. Ubicamos la asíntota y el punto de anclaje. Al crecer $x$ la función se acerca al eje sin tocarlo, y pasa por $(0, 1)$ como todas las exponenciales.

Respuesta: dominio $\mathbb{R}$ , imagen $(0, +\infty)$ , asíntota $y = 0$ , decreciente

10. Un capital de $8000$ pesos crece un $25$ por ciento por año. Escribí la fórmula del capital y calculá cuánto hay a los $2$ años.

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1. Traducimos el porcentaje a un factor. Subir un $25$ por ciento es quedarse con el $100$ por ciento más ese, o sea multiplicar por $\dfrac{5}{4}$ .

2. Identificamos el valor inicial. Al arrancar, con $t = 0$ , hay $8000$ pesos.

3. Escribimos la fórmula. $M(t) = 8000 \cdot \dfrac{5}{4}^{t}$

4. Evaluamos en el tiempo pedido. $M(2) = 8000 \cdot \dfrac{25}{16} = 12500$ pesos.

Respuesta: $M(t) = 8000 \cdot \dfrac{5}{4}^{t}$ y $M(2) = 12500$ pesos

11. Dos funciones toman estos valores en $x = 0, 1, 2, 3$ . La primera: $6$ , $9$ , $12$ , $15$ . La segunda: $6$ , $30$ , $150$ , $750$ . Decidí cuál es lineal y cuál exponencial, y escribí sus fórmulas.

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1. Miramos las diferencias de la primera. $9 - 6 = 3$ , $12 - 9 = 3$ y $15 - 12 = 3$ : suma siempre lo mismo.

2. Miramos los cocientes de la segunda. $\dfrac{30}{6} = 5$ , $\dfrac{150}{30} = 5$ y $\dfrac{750}{150} = 5$ : multiplica siempre por lo mismo.

3. Aplicamos el criterio. Sumar una cantidad fija por cada unidad es crecimiento lineal; multiplicar por un factor fijo es crecimiento exponencial.

4. Escribimos las fórmulas. La primera es $f(x) = 3 x + 6$ y la segunda $g(x) = 6 \cdot 5^{x}$ , las dos con el mismo valor inicial $6$ .

Respuesta: la primera es lineal, $f(x) = 3 x + 6$ ; la segunda es exponencial, $g(x) = 6 \cdot 5^{x}$

12. Resolvé $3^{2x} = 27^{x - 14}$ igualando las bases.

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1. Escribimos todo con la misma base. $27 = 3^{3}$ , así que el lado derecho es $3^{3(x - 14)}$ .

2. Reescribimos la ecuación. $3^{2x} = 3^{3 x - 42}$

3. Igualamos los exponentes. $2x = 3x - 42$

4. Despejamos y verificamos. $x = 42$ . Reemplazando, el izquierdo da $3^{84}$ y el derecho $27^{28} = 3^{84}$ .

Respuesta: $x = 42$

Integradores de Funciones: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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