Ejercicios: Función raíz

2. Pasamos el término con $x$. $10 \geq 5x$

3. Despejamos. Dividimos por $5$, que es positivo, así que la desigualdad no se da vuelta: $x \leq 2$.

4. Escribimos el dominio. El extremo entra, porque ahí el radicando vale cero y la raíz de cero existe.

Respuesta: el dominio es $(-\infty, 2]$

2. Analizamos la de índice impar. La raíz cúbica de un número negativo existe, así que no hay ninguna restricción.

3. Evaluamos en el valor pedido. El radicando vale $-8$. Para $g$ no existe, porque ningún real elevado al cuadrado da un número negativo. Para $h$ vale $-2$, porque $(-2)^{3} = -8$.

4. Escribimos la comparación. La diferencia entre los dos dominios es exactamente la paridad del índice.

Respuesta: $\text{Dom}(g) = [-6, +\infty)$ y $\text{Dom}(h) = \mathbb{R}$; $g(-14)$ no existe y $h(-14) = -2$

2. Analizamos el rango de la raíz sola. $\sqrt{x - 4}$ toma todos los valores mayores o iguales que cero.

3. Aplicamos el factor y la suma. Al multiplicar por $-2$ el conjunto se da vuelta y pasa a ser el de los no positivos, y al sumar $3$ se corre ese valor.

4. Ubicamos el punto de arranque. Es donde el radicando vale cero: $x = 4$, con $f(4) = 3$.

Respuesta: dominio $[4, +\infty)$, imagen $(-\infty, 3]$, arranca en $(4, 3)$

2. Armamos la cuadrática. $x^{2} - x - 6 = 0$

3. Aplicamos la resolvente. $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2}$, que da $x = 3$ y $x = -2$.

4. Verificamos las dos en la ecuación original. Con $x = 3$: el lado izquierdo da $3$ y coincide. Con $x = -2$: el lado izquierdo es una raíz cuadrada, que nunca es negativa, y el derecho vale $-2$. No puede ser, así que se descarta.

Respuesta: la única solución es $x = 3$

2. Planteamos la de la raíz. $x - 7 \geq 0$, o sea $x \geq 7$.

3. Planteamos la del denominador. La raíz no puede valer cero, así que $x - 7 \neq 0$, o sea $x \neq 7$.

4. Combinamos las dos. Juntas dicen $x > 7$: acá el extremo queda afuera, a diferencia de la raíz sola.

Respuesta: el dominio es $(7, +\infty)$

2. Analizamos la de índice impar. La raíz cúbica de un número negativo existe, así que no hay ninguna restricción.

3. Evaluamos en el valor pedido. El radicando vale $-8$. Para $g$ no existe, porque ningún real elevado al cuadrado da un número negativo. Para $h$ vale $-2$, porque $(-2)^{3} = -8$.

4. Escribimos la comparación. La diferencia entre los dos dominios es exactamente la paridad del índice.

Respuesta: $\text{Dom}(g) = [-2, +\infty)$ y $\text{Dom}(h) = \mathbb{R}$; $g(-10)$ no existe y $h(-10) = -2$

2. Analizamos el rango de la raíz sola. $\sqrt{x - 1}$ toma todos los valores mayores o iguales que cero.

3. Aplicamos el factor y la suma. Al multiplicar por $3$ el conjunto sigue siendo el de los no negativos, y al sumar $2$ se corre ese valor.

4. Ubicamos el punto de arranque. Es donde el radicando vale cero: $x = 1$, con $f(1) = 2$.

Respuesta: dominio $[1, +\infty)$, imagen $[2, +\infty)$, arranca en $(1, 2)$

2. Armamos la cuadrática. $x^{2} - x - 2 = 0$

3. Aplicamos la resolvente. $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \dfrac{1 \pm 3}{2}$, que da $x = 2$ y $x = -1$.

4. Verificamos las dos en la ecuación original. Con $x = 2$: el lado izquierdo da $2$ y coincide. Con $x = -1$: el lado izquierdo es una raíz cuadrada, que nunca es negativa, y el derecho vale $-1$. No puede ser, así que se descarta.

Respuesta: la única solución es $x = 2$

2. Factorizamos. $(x - 3)(x + 3) \geq 0$

3. Estudiamos el signo del producto. Es positivo cuando los dos factores tienen el mismo signo, o sea fuera del intervalo $[-3, 3]$.

4. Escribimos el dominio. Los extremos entran porque ahí el radicando vale cero. Ojo: acá el dominio no es un intervalo solo, son dos.

Respuesta: el dominio es $(-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$

2. Analizamos la de índice impar. La raíz cúbica de un número negativo existe, así que no hay ninguna restricción.

3. Evaluamos en el valor pedido. El radicando vale $-8$. Para $g$ no existe, porque ningún real elevado al cuadrado da un número negativo. Para $h$ vale $-2$, porque $(-2)^{3} = -8$.

4. Escribimos la comparación. La diferencia entre los dos dominios es exactamente la paridad del índice.

Respuesta: $\text{Dom}(g) = [-1, +\infty)$ y $\text{Dom}(h) = \mathbb{R}$; $g(-9)$ no existe y $h(-9) = -2$

2. Analizamos el rango de la raíz sola. $\sqrt{x - 5}$ toma todos los valores mayores o iguales que cero.

3. Aplicamos el factor y la suma. Al multiplicar por $1$ el conjunto sigue siendo el de los no negativos, y al sumar $-3$ se corre ese valor.

4. Ubicamos el punto de arranque. Es donde el radicando vale cero: $x = 5$, con $f(5) = -3$.

Respuesta: dominio $[5, +\infty)$, imagen $[-3, +\infty)$, arranca en $(5, -3)$

2. Armamos la cuadrática. $x^{2} - x - 30 = 0$

3. Aplicamos la resolvente. $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2} = \dfrac{1 \pm 11}{2}$, que da $x = 6$ y $x = -5$.

4. Verificamos las dos en la ecuación original. Con $x = 6$: el lado izquierdo da $6$ y coincide. Con $x = -5$: el lado izquierdo es una raíz cuadrada, que nunca es negativa, y el derecho vale $-5$. No puede ser, así que se descarta.

Respuesta: la única solución es $x = 6$