Ejercicios: Función racional

2. Escribimos el dominio antes de simplificar. El denominador se anula en $x = 3$ y $x = -1$, así que el dominio es $\mathbb{R} - \{3, -1\}$. Simplificar no devuelve esos puntos al dominio.

3. Miramos qué pasa en cada uno. En $x = 3$ el factor se cancela con el de arriba, así que ahí hay un agujero. En $x = -1$ solo se anula el denominador, así que la función se dispara.

4. Escribimos la conclusión. Simplificando queda $\dfrac{x + 3}{x + 1}$, con asíntota vertical $x = -1$, y el agujero está en $x = 3$, donde la simplificada vale $\dfrac{3}{2}$.

Respuesta: dominio $\mathbb{R} - \{3, -1\}$; agujero en $x = 3$ y asíntota vertical $x = -1$

2. Comparamos. El de abajo es mayor, así que el denominador crece más rápido.

3. Interpretamos el cociente. Al alejarse del origen, el denominador se agranda mucho más que el numerador y el cociente se hace tan chico como se quiera.

4. Escribimos la asíntota. Es el eje $x$. Que la curva pueda cruzarlo en la zona del medio no cambia nada: la asíntota describe el comportamiento lejos del origen.

Respuesta: la asíntota horizontal es $y = 0$

2. Dividimos los polinomios. $\dfrac{x^{2} - 4 x + 1}{x - 5} = x + 1 + \dfrac{6}{x - 5}$

3. Miramos qué pasa lejos del origen. El resto dividido por $x - 5$ tiende a cero, porque el denominador crece y el numerador queda fijo.

4. Escribimos la asíntota. Lo que sobrevive es el cociente de la división: la recta $y = x + 1$.

Respuesta: la asíntota oblicua es $y = x + 1$

2. Buscamos el corte con el eje $x$. Una fracción vale cero cuando el numerador se anula: $4 x + 8 = 0$ da $x = -2$. El denominador ahí no se anula, así que el punto sirve.

3. Hallamos la asíntota horizontal. El grado de abajo es mayor que el de arriba, así que la asíntota es $y = 0$.

4. Comparamos las dos cosas. El corte con el eje $x$ es justamente un punto donde $f$ vale $0$, o sea donde la curva toca la recta $y = 0$. Cruzar la asíntota horizontal está permitido: no es una barrera.

Respuesta: corta el eje $y$ en $(0, \dfrac{1}{2})$ y el eje $x$ en $(-2, 0)$, y sí cruza su asíntota horizontal $y = 0$

2. Escribimos el dominio antes de simplificar. El denominador se anula en $x = -3$ y $x = 4$, así que el dominio es $\mathbb{R} - \{-3, 4\}$. Simplificar no devuelve esos puntos al dominio.

3. Miramos qué pasa en cada uno. En $x = -3$ el factor se cancela con el de arriba, así que ahí hay un agujero. En $x = 4$ solo se anula el denominador, así que la función se dispara.

4. Escribimos la conclusión. Simplificando queda $\dfrac{x - 3}{x - 4}$, con asíntota vertical $x = 4$, y el agujero está en $x = -3$, donde la simplificada vale $\dfrac{6}{7}$.

Respuesta: dominio $\mathbb{R} - \{-3, 4\}$; agujero en $x = -3$ y asíntota vertical $x = 4$

2. Comparamos. El de arriba es mayor, así que el numerador crece más rápido.

3. Interpretamos. El cociente no se estabiliza en ningún número: se va a infinito, así que no hay asíntota horizontal.

4. Vemos qué hay en su lugar. Como el grado de arriba supera al de abajo en exactamente uno, hay una asíntota oblicua, que se obtiene dividiendo los polinomios.

Respuesta: no tiene asíntota horizontal: tiene una oblicua

2. Dividimos los polinomios. $\dfrac{x^{2} - 2 x - 2}{x - 4} = x + 2 + \dfrac{6}{x - 4}$

3. Miramos qué pasa lejos del origen. El resto dividido por $x - 4$ tiende a cero, porque el denominador crece y el numerador queda fijo.

4. Escribimos la asíntota. Lo que sobrevive es el cociente de la división: la recta $y = x + 2$.

Respuesta: la asíntota oblicua es $y = x + 2$

2. Buscamos el corte con el eje $x$. Una fracción vale cero cuando el numerador se anula: $2 x + 6 = 0$ da $x = -3$. El denominador ahí no se anula, así que el punto sirve.

3. Hallamos la asíntota horizontal. El grado de abajo es mayor que el de arriba, así que la asíntota es $y = 0$.

4. Comparamos las dos cosas. El corte con el eje $x$ es justamente un punto donde $f$ vale $0$, o sea donde la curva toca la recta $y = 0$. Cruzar la asíntota horizontal está permitido: no es una barrera.

Respuesta: corta el eje $y$ en $(0, \dfrac{3}{2})$ y el eje $x$ en $(-3, 0)$, y sí cruza su asíntota horizontal $y = 0$

2. Escribimos el dominio antes de simplificar. El denominador se anula en $x = 5$ y $x = 2$, así que el dominio es $\mathbb{R} - \{5, 2\}$. Simplificar no devuelve esos puntos al dominio.

3. Miramos qué pasa en cada uno. En $x = 5$ el factor se cancela con el de arriba, así que ahí hay un agujero. En $x = 2$ solo se anula el denominador, así que la función se dispara.

4. Escribimos la conclusión. Simplificando queda $\dfrac{x + 5}{x - 2}$, con asíntota vertical $x = 2$, y el agujero está en $x = 5$, donde la simplificada vale $\dfrac{10}{3}$.

Respuesta: dominio $\mathbb{R} - \{5, 2\}$; agujero en $x = 5$ y asíntota vertical $x = 2$

2. Aplicamos la regla del caso. Cuando los grados coinciden, la asíntota es el cociente de los coeficientes principales.

3. Calculamos ese cociente. $\dfrac{6}{2} = 3$

4. Verificamos con un valor grande. En $x = 1000$ el cociente ya está muy cerca de $3$, porque los términos independientes pesan cada vez menos.

Respuesta: la asíntota horizontal es $y = 3$

2. Dividimos los polinomios. $\dfrac{x^{2} + 9 x + 20}{x + 2} = x + 7 + \dfrac{6}{x + 2}$

3. Miramos qué pasa lejos del origen. El resto dividido por $x + 2$ tiende a cero, porque el denominador crece y el numerador queda fijo.

4. Escribimos la asíntota. Lo que sobrevive es el cociente de la división: la recta $y = x + 7$.

Respuesta: la asíntota oblicua es $y = x + 7$

2. Buscamos el corte con el eje $x$. Una fracción vale cero cuando el numerador se anula: $3 x + 12 = 0$ da $x = -4$. El denominador ahí no se anula, así que el punto sirve.

3. Hallamos la asíntota horizontal. El grado de abajo es mayor que el de arriba, así que la asíntota es $y = 0$.

4. Comparamos las dos cosas. El corte con el eje $x$ es justamente un punto donde $f$ vale $0$, o sea donde la curva toca la recta $y = 0$. Cruzar la asíntota horizontal está permitido: no es una barrera.

Respuesta: corta el eje $y$ en $(0, 12)$ y el eje $x$ en $(-4, 0)$, y sí cruza su asíntota horizontal $y = 0$