Ejercicios: Función polinómica

grado n: hasta n raíces

y n - 1

dobleces

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Describí el comportamiento de $f(x) = - x^{4} - 3 x^{2} + 1$ en los extremos, sin hacer tabla.

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1. Buscamos el término de mayor grado. Es $- x^{4}$ , de grado $4$ . Para valores grandes de $|x|$ esa potencia domina a todas las demás.

2. Miramos la paridad del grado. El grado es par, así que las dos ramas van para el mismo lado.

3. Miramos el signo del coeficiente principal. Es $-1$ , negativo, y eso decide hacia dónde.

4. Escribimos la conclusión. La función tiende a $-\infty$ en los dos extremos. Los términos de grado menor solo afectan la zona del medio.

Respuesta: las dos ramas van hacia abajo

2. Factorizá $f(x) = x^{3} - 4 x$ y hallá todas sus raíces reales.

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1. Sacamos factor común. $f(x) = x\left(x^{2} - 4\right)$

2. Reconocemos la diferencia de cuadrados. $x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)$

3. Escribimos la factorización completa. $f(x) = x(x - 2)(x + 2)$

4. Igualamos cada factor a cero. Las raíces son $x = 0$ , $x = 2$ y $x = -2$ : tres, que es el tope para grado tres.

Respuesta: $f(x) = x(x - 2)(x + 2)$ , con raíces $-2$ , $0$ y $2$

3. Estudiá el signo de $f(x) = (x - 5)^{2}(x - 1)$ e indicá en cada raíz si el gráfico cruza el eje o rebota.

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1. Identificamos las raíces y sus multiplicidades. $x = 5$ tiene multiplicidad dos y $x = 1$ tiene multiplicidad uno.

2. Usamos la regla de la multiplicidad. Con multiplicidad par el gráfico toca y rebota; con multiplicidad impar cruza. Entonces en $x = 5$ rebota y en $x = 1$ cruza.

3. Probamos un valor de cada tramo. $f(0) = -25$ , $f(3) = 8$ y $f(6) = 5$ .

4. Escribimos el signo. El factor al cuadrado nunca es negativo, así que el signo lo decide $(x - 1)$ : la función es negativa antes de $1$ y positiva después, salvo en las raíces donde vale cero.

Respuesta: negativa en $(-\infty, 1)$ y positiva en $(1, +\infty)$ , sin contar las raíces; rebota en $x = 5$ y cruza en $x = 1$

4. Decidí cuántas raíces reales tiene $f(x) = x^{4} + 1$ .

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1. Miramos el grado. Es cuatro, así que el tope es cuatro raíces reales.

2. Analizamos los valores que toma. $x^{4}$ es siempre mayor o igual que cero, así que $f(x) \geq 1$ .

3. Buscamos si puede anularse. Como el mínimo valor posible es $1$ , que es positivo, la función nunca vale cero.

4. Concluimos. No tiene ninguna raíz real. El grado es un tope, no una cantidad garantizada.

Respuesta: ninguna raíz real, aunque el grado permita hasta cuatro

5. Describí el comportamiento de $f(x) = - 2 x^{6} - 3 x^{2} + 1$ en los extremos, sin hacer tabla.

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1. Buscamos el término de mayor grado. Es $- 2 x^{6}$ , de grado $6$ . Para valores grandes de $|x|$ esa potencia domina a todas las demás.

2. Miramos la paridad del grado. El grado es par, así que las dos ramas van para el mismo lado.

3. Miramos el signo del coeficiente principal. Es $-2$ , negativo, y eso decide hacia dónde.

4. Escribimos la conclusión. La función tiende a $-\infty$ en los dos extremos. Los términos de grado menor solo afectan la zona del medio.

Respuesta: las dos ramas van hacia abajo

6. Factorizá $f(x) = x^{4} - 16 x^{2}$ y hallá todas sus raíces reales.

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1. Sacamos factor común. $f(x) = x^{2}\left(x^{2} - 16\right)$

2. Factorizamos el paréntesis. $x^{2} - 16 = (x - 4)(x + 4)$

3. Escribimos la factorización completa. $f(x) = x^{2}(x - 4)(x + 4)$

4. Listamos las raíces. Son $x = 0$ , $x = 4$ y $x = -4$ . El grado es cuatro y hay tres raíces distintas, porque el cero aparece dos veces.

Respuesta: $f(x) = x^{2}(x - 4)(x + 4)$ , con raíces $-4$ , $0$ (doble) y $4$

7. Estudiá el signo de $f(x) = (x + 4)^{2}(x - 2)$ e indicá en cada raíz si el gráfico cruza el eje o rebota.

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1. Identificamos las raíces y sus multiplicidades. $x = -4$ tiene multiplicidad dos y $x = 2$ tiene multiplicidad uno.

2. Usamos la regla de la multiplicidad. Con multiplicidad par el gráfico toca y rebota; con multiplicidad impar cruza. Entonces en $x = -4$ rebota y en $x = 2$ cruza.

3. Probamos un valor de cada tramo. $f(-5) = -7$ , $f(-1) = -27$ y $f(3) = 49$ .

4. Escribimos el signo. El factor al cuadrado nunca es negativo, así que el signo lo decide $(x - 2)$ : la función es negativa antes de $2$ y positiva después, salvo en las raíces donde vale cero.

Respuesta: negativa en $(-\infty, 2)$ y positiva en $(2, +\infty)$ , sin contar las raíces; rebota en $x = -4$ y cruza en $x = 2$

8. Decidí cuántas raíces reales puede tener $f(x) = x^{3} + 7 x - 7$ y justificá que tiene al menos una.

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1. Miramos el grado. Es tres, así que puede tener hasta tres raíces reales.

2. Analizamos los extremos. El coeficiente principal es positivo y el grado impar, así que la función va a $-\infty$ a la izquierda y a $+\infty$ a la derecha.

3. Buscamos el cambio de signo. $f(0) = -7$ , que es negativo, y $f(7) = 385$ , que es positivo.

4. Concluimos. Pasa de negativa a positiva, así que en algún punto entre $0$ y $7$ vale cero. Todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real por esta razón.

Respuesta: hasta tres raíces, y al menos una, que está entre $0$ y $7$

9. Describí el comportamiento de $f(x) = - x^{5} - 3 x^{2} + 1$ en los extremos, sin hacer tabla.

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1. Buscamos el término de mayor grado. Es $- x^{5}$ , de grado $5$ . Para valores grandes de $|x|$ esa potencia domina a todas las demás.

2. Miramos la paridad del grado. El grado es impar, así que las dos ramas van para lados opuestos.

3. Miramos el signo del coeficiente principal. Es $-1$ , negativo, y eso decide hacia dónde.

4. Escribimos la conclusión. La función tiende a $+\infty$ a la izquierda y $-\infty$ a la derecha. Los términos de grado menor solo afectan la zona del medio.

Respuesta: viene de arriba a la izquierda y baja a la derecha

10. Sabiendo que $x = 5$ es raíz de $f(x) = x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 20$ , factorizalo y hallá todas sus raíces.

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1. Usamos la raíz conocida. Si $x = 5$ es raíz, entonces $(x - 5)$ divide al polinomio.

2. Hacemos la división. $f(x) : (x - 5) = x^{2} - 4$ , sin resto.

3. Factorizamos el cociente. $x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)$

4. Escribimos todo y listamos las raíces. $f(x) = (x - 5)(x - 2)(x + 2)$ , con raíces $5$ , $2$ y $-2$ .

Respuesta: $f(x) = (x - 5)(x - 2)(x + 2)$

11. Estudiá el signo de $f(x) = (x - 2)^{2}(x + 3)$ e indicá en cada raíz si el gráfico cruza el eje o rebota.

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1. Identificamos las raíces y sus multiplicidades. $x = 2$ tiene multiplicidad dos y $x = -3$ tiene multiplicidad uno.

2. Usamos la regla de la multiplicidad. Con multiplicidad par el gráfico toca y rebota; con multiplicidad impar cruza. Entonces en $x = 2$ rebota y en $x = -3$ cruza.

3. Probamos un valor de cada tramo. $f(-4) = -36$ , $f(- \dfrac{1}{2}) = \dfrac{125}{8}$ y $f(3) = 6$ .

4. Escribimos el signo. El factor al cuadrado nunca es negativo, así que el signo lo decide $(x + 3)$ : la función es negativa antes de $-3$ y positiva después, salvo en las raíces donde vale cero.

Respuesta: negativa en $(-\infty, -3)$ y positiva en $(-3, +\infty)$ , sin contar las raíces; rebota en $x = 2$ y cruza en $x = -3$

12. Decidí cuántas raíces reales tiene $f(x) = x^{6} + 3 x^{2} + 3$ .

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1. Miramos el grado. Es seis: el tope es seis raíces reales.

2. Analizamos cada término. $x^{6}$ y $x^{2}$ tienen exponente par, así que ninguno es negativo, y el término independiente es $3$ .

3. Acotamos la función. La suma de cosas no negativas más $3$ da siempre al menos $3$ : $f(x) \geq 3 > 0$ .

4. Concluimos. No corta el eje $x$ en ningún punto.

Respuesta: ninguna raíz real

Integradores de Funciones: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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