Ejercicios: Función cuadrática

vértice:

x = -b/2a

· raíces:

x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá el vértice de $f(x) = - 2 x^{2} - 8 x - 4$ , decidí hacia dónde abre y escribí su imagen.

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1. Identificamos los coeficientes. $a = -2$ , $b = -8$ y $c = -4$ .

2. Calculamos la abscisa del vértice. $x_{v} = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{8}{-4} = -2$

3. Evaluamos para obtener la altura. $f(-2) = 4$ , así que el vértice completo es $(-2, 4)$ . La fórmula da solo la abscisa: hay que evaluar para tener el punto.

4. Decidimos apertura e imagen. Como $a = -2$ es negativo, abre hacia abajo y el vértice es un máximo.

Respuesta: vértice $(-2, 4)$ , abre hacia abajo, imagen $(-\infty, 4]$

2. Calculá el discriminante de $f(x) = x^{2} - 7 x + 6$ y decidí cuántas raíces reales tiene. Si tiene, hallalas.

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1. Identificamos los coeficientes. $a = 1$ , $b = -7$ y $c = 6$ .

2. Calculamos el discriminante. $\Delta = b^{2} - 4ac = (-7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (6) = 25$

3. Interpretamos el signo. Es positivo, así que hay dos raíces reales distintas.

4. Aplicamos la resolvente. $x = \dfrac{7 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{7 \pm 5}{2}$ , que da $x = 1$ y $x = 6$ .

Respuesta: $\Delta = 25$ , dos raíces: $1$ y $6$

3. Escribí $f(x) = x^{2} - 6 x + 5$ en forma canónica completando cuadrados.

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1. Sacamos factor común el coeficiente principal. $f(x) = 1\left(x^{2} - 6x\right) + 5$

2. Completamos el cuadrado adentro del paréntesis. La mitad de $-6$ es $-3$ , y su cuadrado es $9$ . Sumamos y restamos ese número adentro.

3. Armamos el cuadrado perfecto. $f(x) = 1\left[(x - 3)^{2} - 9\right] + 5$

4. Distribuimos y sumamos lo de afuera. $f(x) = 1(x - 3)^{2} - 4$ , y de ahí se lee el vértice $(3, -4)$ sin hacer ninguna otra cuenta.

Respuesta: $f(x) = 1(x - 3)^{2} - 4$

4. Con $80$ metros de alambre se quiere cerrar un rectángulo. Hallá las dimensiones que dan área máxima y cuál es esa área.

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1. Escribimos la relación entre los lados. Si un lado mide $x$ , el perímetro obliga a que el otro mida $40 - x$ .

2. Armamos la función a maximizar. $A(x) = x(40 - x) = - x^{2} + 40 x$ , que es una parábola.

3. Buscamos el vértice. Abre hacia abajo, así que el vértice es un máximo: $x = \dfrac{40}{2} = 20$ .

4. Calculamos el área. El otro lado mide $20$ , así que el rectángulo es un cuadrado y $A = 400$ metros cuadrados.

Respuesta: un cuadrado de $20$ m de lado, con área $400$ metros cuadrados

5. Hallá el vértice de $f(x) = x^{2} + 8 x + 18$ , decidí hacia dónde abre y escribí su imagen.

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1. Identificamos los coeficientes. $a = 1$ , $b = 8$ y $c = 18$ .

2. Calculamos la abscisa del vértice. $x_{v} = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-8}{2} = -4$

3. Evaluamos para obtener la altura. $f(-4) = 2$ , así que el vértice completo es $(-4, 2)$ . La fórmula da solo la abscisa: hay que evaluar para tener el punto.

4. Decidimos apertura e imagen. Como $a = 1$ es positivo, abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.

Respuesta: vértice $(-4, 2)$ , abre hacia arriba, imagen $[2, +\infty)$

6. Calculá el discriminante de $f(x) = x^{2} + 12 x + 36$ y decidí cuántas raíces reales tiene. Si tiene, hallalas.

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1. Identificamos los coeficientes. $a = 1$ , $b = 12$ y $c = 36$ .

2. Calculamos el discriminante. $\Delta = (12)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 - 144 = 0$

3. Interpretamos el signo. Es cero, así que hay una sola raíz y el vértice está apoyado sobre el eje $x$ .

4. Hallamos esa raíz. $x = \dfrac{-12}{2} = -6$ . Se ve también factorizando: $f(x) = (x + 6)^{2}$ .

Respuesta: $\Delta = 0$ , una sola raíz: $x = -6$

7. Escribí $f(x) = 3 x^{2} - 6 x - 4$ en forma canónica completando cuadrados.

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1. Sacamos factor común el coeficiente principal. $f(x) = 3\left(x^{2} - 2x\right) - 4$

2. Completamos el cuadrado adentro del paréntesis. La mitad de $-2$ es $-1$ , y su cuadrado es $1$ . Sumamos y restamos ese número adentro.

3. Armamos el cuadrado perfecto. $f(x) = 3\left[(x - 1)^{2} - 1\right] - 4$

4. Distribuimos y sumamos lo de afuera. $f(x) = 3(x - 1)^{2} - 7$ , y de ahí se lee el vértice $(1, -7)$ sin hacer ninguna otra cuenta.

Respuesta: $f(x) = 3(x - 1)^{2} - 7$

8. Se venden $36 - 2p$ unidades cuando el precio es $p$ . Hallá el precio que maximiza el ingreso y cuánto vale ese ingreso.

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1. Armamos el ingreso. Ingreso es precio por cantidad: $I(p) = p(36 - 2p) = - 2 p^{2} + 36 p$ .

2. Reconocemos la forma. Es una parábola en $p$ con coeficiente principal $-2$ , negativo: abre hacia abajo, así que el vértice es el máximo.

3. Calculamos la abscisa del vértice. $p = \dfrac{-36}{2 \cdot (-2)} = 9$

4. Calculamos el ingreso máximo. $I(9) = 9(36 - 2 \cdot 9) = 162$

Respuesta: el precio óptimo es $9$ , con ingreso máximo $162$

9. Hallá el vértice de $f(x) = 3 x^{2} - 6 x - 3$ , decidí hacia dónde abre y escribí su imagen.

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1. Identificamos los coeficientes. $a = 3$ , $b = -6$ y $c = -3$ .

2. Calculamos la abscisa del vértice. $x_{v} = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{6}{6} = 1$

3. Evaluamos para obtener la altura. $f(1) = -6$ , así que el vértice completo es $(1, -6)$ . La fórmula da solo la abscisa: hay que evaluar para tener el punto.

4. Decidimos apertura e imagen. Como $a = 3$ es positivo, abre hacia arriba y el vértice es un mínimo.

Respuesta: vértice $(1, -6)$ , abre hacia arriba, imagen $[-6, +\infty)$

10. Calculá el discriminante de $f(x) = x^{2} + 2 x + 7$ y decidí cuántas raíces reales tiene. Si tiene, hallalas.

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1. Identificamos los coeficientes. $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 7$ .

2. Calculamos el discriminante. $\Delta = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$

3. Interpretamos el signo. Es negativo, así que no hay raíces reales: la parábola no toca el eje $x$ .

4. Verificamos con el vértice. El vértice está en $x = -1$ , con $f(-1) = 6$ , que es positivo. Como abre hacia arriba, la curva se queda entera por encima del eje.

Respuesta: $\Delta = -24$ , no tiene raíces reales

11. Escribí $f(x) = 2 x^{2} + 8 x + 13$ en forma canónica completando cuadrados.

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1. Sacamos factor común el coeficiente principal. $f(x) = 2\left(x^{2} + 4x\right) + 13$

2. Completamos el cuadrado adentro del paréntesis. La mitad de $4$ es $2$ , y su cuadrado es $4$ . Sumamos y restamos ese número adentro.

3. Armamos el cuadrado perfecto. $f(x) = 2\left[(x + 2)^{2} - 4\right] + 13$

4. Distribuimos y sumamos lo de afuera. $f(x) = 2(x + 2)^{2} + 5$ , y de ahí se lee el vértice $(-2, 5)$ sin hacer ninguna otra cuenta.

Respuesta: $f(x) = 2(x + 2)^{2} + 5$

12. Hallá el valor mínimo de $f(x) = x^{2} - 397$ y en qué $x$ se alcanza.

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1. Miramos la forma de la función. Desarrollando queda $x^{2} - 397$ : es una parábola con $a = 1$ , que abre hacia arriba.

2. Ubicamos el vértice. No hay término lineal, así que la abscisa del vértice es $x = 0$ .

3. Calculamos el valor ahí. $f(0) = -397$

4. Interpretamos. Como abre hacia arriba, ese valor es el mínimo de toda la función y la imagen es $[-397, +\infty)$ .

Respuesta: el mínimo es $-397$ y se alcanza en $x = 0$

Integradores de Funciones: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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