Método

Función cuadrática

La función cuadrática tiene la variable elevada al cuadrado y su gráfico es una parábola. Todo lo que hay que saber de ella se lee de tres cosas: el signo del coeficiente principal, el vértice y las raíces.

El signo del coeficiente principal decide hacia dónde abre. Si es positivo la parábola abre hacia arriba y el vértice es un mínimo; si es negativo abre hacia abajo y el vértice es un máximo. Con eso solo ya se sabe la forma general del dibujo.

El vértice es el punto más alto o más bajo, y su abscisa se calcula con una fórmula corta a partir de los coeficientes. La parábola es simétrica respecto de la recta vertical que pasa por él, lo que significa que dos puntos a la misma distancia del vértice tienen la misma altura.

Las raíces salen de la fórmula resolvente, y la cantidad la decide el discriminante. Si es positivo hay dos raíces distintas, si es cero hay una sola y el vértice está sobre el eje, y si es negativo no hay raíces reales: la parábola no toca el eje.

Hay tres formas de escribir la misma cuadrática. La desarrollada muestra la ordenada al origen, la factorizada muestra las raíces y la canónica muestra el vértice. Elegir la forma adecuada según lo que pida el ejercicio ahorra mucho trabajo.

vértice: x=−b/2ax = -b/2a · raíces: x=−b±b2−4ac2ax = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
Cuándo se usa

Cuando aparece un cuadrado en la fórmula y piden vértice, raíces o el gráfico. También en problemas de optimización sencillos, donde hay que maximizar un área o minimizar un costo y la cantidad a optimizar resulta ser una parábola: ahí el óptimo es el vértice.

Ejemplo 1

Hallar el vértice y las raíces de f(x)=x2−4x+3f(x) = x^{2} - 4x + 3.

Identificamos los coeficientes. a=1a = 1, b=−4b = -4, c=3c = 3.
Calculamos la abscisa del vértice. x=+4/2=2x = + 4/2 = 2.
Evaluamos para hallar la altura. f(2)=4−8+3=−1f(2) = 4 - 8 + 3 = -1, así que el vértice es (2,−1)(2, -1).
Calculamos el discriminante. 16−12=416 - 12 = 4, positivo: hay dos raíces.
Aplicamos la fórmula. (4±2)/2(4 \pm 2)/2, que da 33 y 11.
Respuesta: vértice (2,−1)(2, -1), raíces 11 y 33

Ejemplo 2

Decidir cuántas raíces tiene f(x)=x2+2x+5f(x) = x^{2} + 2x + 5.

Identificamos los coeficientes. a=1a = 1, b=2b = 2, c=5c = 5.
Calculamos el discriminante. b2−4ac=4−20=−16b^{2} - 4ac = 4 - 20 = -16.
Interpretamos el signo. Es negativo, así que no hay raíces reales.
Verificamos con el vértice. El vértice está en x=−1x = -1 con f(−1)=4f(-1) = 4: está por encima del eje, y como abre hacia arriba nunca lo toca.
Respuesta: no tiene raíces reales: la parábola no corta el eje xx

Error típico

Calcular el vértice con la fórmula y quedarse con la abscisa. Esa fórmula da solo el valor de xx: para el punto completo hay que evaluar la función ahí y obtener la altura.

Practicar

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Otros subtemas de Funciones

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