Exponencial y logaritmo

Exponencial y logaritmo son inversas una de la otra, y trabajar con las dos juntas es lo que resuelve la mayoría de los ejercicios del tema.

Que sean inversas significa que se cancelan al componerse: aplicar una y después la otra devuelve el número original. Esa cancelación es la herramienta central, y hay dos versiones según el orden en que se apliquen.

El detalle es que las dos cancelaciones no tienen el mismo dominio. Una vale para cualquier real, porque la exponencial acepta todo. La otra vale solo para positivos, porque el logaritmo no acepta otra cosa. Escribir la cancelación sin mirar el dominio es una fuente clásica de soluciones inventadas.

Para resolver una ecuación con la incógnita en el exponente se aplica logaritmo a los dos lados. Para una con la incógnita adentro de un logaritmo se aplica exponencial. En los dos casos la idea es la misma: usar la inversa para liberar la variable.

Y siempre hay que verificar las soluciones al final. Al aplicar exponencial pueden aparecer valores que no cumplen la restricción de positividad del logaritmo original: son soluciones falsas que hay que descartar.

\log_{a}(a^{x}) = x, \quad a^{\log_{a} x} = x

Cuándo se usa

En cualquier ecuación donde la incógnita esté en un exponente o dentro de un logaritmo. El método es aplicar la inversa a los dos lados. Verificá siempre las soluciones contra el dominio original, porque el procedimiento puede generar valores que no sirven.

Ejemplo 1

Simplificar $\ln(e^{5})$ y $e^(\ln 7)$ .

Miramos la primera. El logaritmo pregunta a qué exponente hay que elevar $e$ para obtener $e^{5}$ .
Contestamos. Al exponente $5$ . La primera vale $5$ .
Miramos la segunda. $\ln 7$ es el exponente que hay que ponerle a $e$ para obtener $7$ .
Contestamos. Al elevar $e$ a ese exponente, obtenemos $7$ .
Respuesta: $\ln(e^{5}) = 5$ y $e^(\ln 7) = 7$

Ejemplo 2

Resolver $e^(2x) = 5$ usando el logaritmo.

Aplicamos logaritmo a los dos lados. $\ln(e^(2x)) = \ln 5$
Usamos que se deshacen. El lado izquierdo se simplifica a $2x$ .
Escribimos la ecuación. $2x = \ln 5$
Despejamos. $x = (\ln 5)/2 \approx 0{,}80$
Respuesta: $x = (\ln 5)/2$

Error típico

Confundir la función inversa con la inversa multiplicativa. La inversa de $e^{x}$ es $\ln x$ , no $1/e^{x}$ . Son cosas distintas que comparten el nombre.

Practicar

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Otros subtemas de Funciones

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