Funciones por tramos

Una función por tramos usa fórmulas distintas según en qué parte del dominio caiga la variable. Es una sola función, no varias: lo que cambia es la regla que se aplica en cada zona.

Para evaluarla hay dos pasos y el orden es rígido. Primero se decide en qué tramo cae el valor, mirando las condiciones. Recién después se usa la fórmula que corresponde a ese tramo. Elegir la fórmula sin fijarse en la condición es el error más frecuente del tema.

El gráfico se arma dibujando cada fórmula pero solo sobre su intervalo. Conviene marcar con punto lleno los extremos incluidos y con punto vacío los que no, porque ahí es donde suele estar la sutileza del ejercicio.

Los puntos donde cambia la fórmula son los que importan. Ahí la función puede ser continua, si las dos ramas llegan a la misma altura, o tener un salto si llegan a alturas distintas. Ese chequeo es el que se pide en la mayoría de los ejercicios.

Aparecen naturalmente en problemas reales con reglas que cambian por escalones: tarifas por consumo, escalas impositivas, descuentos a partir de cierta cantidad. En todos esos casos la regla no es única y por eso la función se define por tramos.

primero se decide en qué tramo cae el valor

Cuándo se usa

Cuando la fórmula viene con llave y varias condiciones. Para evaluar, primero ubicá el valor en su tramo y después aplicá la fórmula. Los puntos de cambio son siempre los que hay que estudiar: ahí se decide la continuidad.

Ejemplo 1

Evaluar en $-2$ , $1$ y $5$ la función que vale $-x$ si $x < 0$ , $x^{2}$ si $0 \leq x < 2$ y $4$ si $x \geq 2$ .

Ubicamos el primero. $-2$ es menor que cero: corresponde el primer tramo.
Aplicamos esa fórmula. $+ 2 = 2$ .
Ubicamos el segundo. $1$ está entre cero y dos: corresponde $x^{2}$ , que da $1$ .
Ubicamos el tercero. $5$ es mayor o igual que dos: corresponde la constante $4$ .
Respuesta: $f(-2) = 2$ , $f(1) = 1$ y $f(5) = 4$

Ejemplo 2

Decidir si esa misma función tiene un salto en $x = 2$ .

Vemos qué pasa justo antes. Con valores apenas menores que dos rige $x^{2}$ , que se acerca a $4$ .
Vemos qué pasa justo después. Con valores mayores o iguales que dos rige la constante $4$ .
Comparamos los dos valores. Los dos dan $4$ .
Concluimos. Los tramos se encuentran a la misma altura: no hay salto.
Respuesta: no hay salto: los dos tramos valen $4$ en el borde

Error típico

Evaluar con la fórmula equivocada. Antes de calcular hay que preguntarse en qué intervalo cae el valor. Es un paso de dos segundos que evita la mayoría de los errores.

Practicar

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Otros subtemas de Funciones

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