Composición de funciones

Componer es encadenar dos funciones: se aplica una y el resultado se mete como entrada de la otra. Se escribe $(f \circ g)(x)$ y se lee $f$ de $g$ de $x$ .

El orden en que se leen los símbolos es al revés de como se hacen las cuentas. En $f \circ g$ la que actúa primero es $g$ , la de la derecha, y después $f$ . Ese detalle es la fuente principal de errores del tema.

Y el orden importa de verdad: componer no es conmutativo. Salvo casos muy particulares, $f \circ g$ y $g \circ f$ son funciones distintas, así que no se pueden intercambiar como si fueran factores de un producto.

Hay una restricción de dominio que suele pasarse por alto. Para que la composición tenga sentido en un punto, ese punto tiene que estar en el dominio de la que actúa primero, y además su resultado tiene que caer dentro del dominio de la segunda. Por eso el dominio de la composición puede ser más chico que el de cada una por separado.

La composición es el concepto que después sostiene la regla de la cadena. Reconocer que una función complicada es en realidad la composición de dos simples es lo que permite derivarla.

(f \circ g)(x) = f( g(x) )

Cuándo se usa

Cuando el enunciado da dos funciones y pide $(f \circ g)$ , o cuando pide evaluar algo como $f(g(2))$ . También cuando te dan una función complicada y piden escribirla como composición de otras dos, que es el paso previo a derivar con la regla de la cadena.

Ejemplo 1

Dadas $f(x) = 2x + 1$ y $g(x) = x^{2}$ , hallar $f \circ g$ y $g \circ f$ .

Armamos la primera composición. $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^{2})$ .
Reemplazamos en la fórmula de f. Donde $f$ dice $x$ , ponemos $x^{2}$ : queda $2x^{2} + 1$ .
Armamos la segunda. $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1)$ .
Reemplazamos en la fórmula de g. Donde $g$ dice $x$ , ponemos $2x + 1$ : queda $(2x + 1)^{2}$ .
Comparamos. En $x = 1$ la primera da $3$ y la segunda $9$ . Son distintas.
Respuesta: $f \circ g = 2x^{2} + 1$ y $g \circ f = (2x + 1)^{2}$

Ejemplo 2

Calcular $(f \circ g)(3)$ con $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = x + 1$ .

Identificamos cuál actúa primero. La de adentro es $g$ .
Aplicamos g al valor de entrada. $g(3) = 3 + 1 = 4$ .
Ese resultado entra en f. $f(4) = \sqrt{4}$ .
Calculamos. $2$
Respuesta: $(f \circ g)(3) = 2$

Error típico

Componer en el orden en que están escritas. En $(f \circ g)(x)$ la que actúa primero es $g$ , la de la derecha, aunque esté escrita segunda.

Practicar

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Otros subtemas de Funciones

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .