Crecimiento y paridad

Una función es creciente en un intervalo si al avanzar en $x$ los valores de $y$ también suben, y decreciente si bajan. Son propiedades locales: la misma función puede crecer en un tramo y decrecer en otro, y por eso siempre se declaran indicando el intervalo.

La paridad es otra cosa y describe una simetría. Una función es par si al cambiar el signo de la entrada el resultado no cambia, y eso se ve en el gráfico como un espejo respecto del eje vertical. Es impar si al cambiar el signo de la entrada el resultado cambia de signo, y eso se ve como una simetría respecto del origen.

Los nombres vienen de las potencias. Las potencias de exponente par dan funciones pares y las de exponente impar dan impares. Pero la regla se rompe apenas se mezclan: la suma de una par y una impar no es ninguna de las dos.

La mayoría de las funciones no es ni par ni impar, y eso es lo normal. La paridad es una propiedad especial, no una clasificación que abarque a todas.

Cuando una función tiene paridad, alcanza con estudiar la mitad del dominio: lo que pasa del otro lado sale por simetría. Esa es la razón práctica por la que conviene chequearla antes de arrancar un estudio completo.

par:

f(-x) = f(x)

· impar:

f(-x) = -f(x)

Cuándo se usa

La paridad conviene chequearla al empezar cualquier estudio de función, porque si la hay te ahorra la mitad del trabajo. Se verifica reemplazando $x$ por $-x$ y comparando. El crecimiento aparece cuando el enunciado da un gráfico o, más adelante, cuando se estudia el signo de la derivada.

Ejemplo 1

Determinar la paridad de $f(x) = x^{4} - 2x^{2}$ .

Reemplazamos x por $-x$ . $f(-x) = (-x)^{4} - 2(-x)^{2}$
Resolvemos las potencias. Los exponentes son pares, así que los signos se van: $x^{4} - 2x^{2}$ .
Comparamos con la original. Da exactamente $f(x)$ .
Concluimos. Cumple la condición de función par.
Respuesta: es par: su gráfico es espejo respecto del eje $y$

Ejemplo 2

Determinar la paridad de $f(x) = x^{3} + x$ .

Reemplazamos x por $-x$ . $f(-x) = (-x)^{3} + (-x)$
Resolvemos. Los exponentes son impares, así que el signo sobrevive: $-x^{3} - x$ .
Sacamos factor común menos uno. $-(x^{3} + x)$ , que es $-f(x)$ .
Concluimos. Cumple la condición de función impar.
Respuesta: es impar: su gráfico queda igual al girarlo media vuelta

Error típico

Suponer que toda función es par o impar. La mayoría no es ninguna de las dos: $x^{2} + x$ no cumple ni una condición ni la otra.

Practicar

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Otros subtemas de Funciones

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .