Método

Ejercicios: Crecimiento y paridad

par: f(−x)=f(x)f(-x) = f(x) · impar: f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Determiná la paridad de f(x)=x4−8x2f(x) = x^{4} - 8 x^{2}.

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1. Reemplazamos xx por −x-x. f(−x)=1(−x)4−8(−x)2f(-x) = 1(-x)^{4} - 8(-x)^{2}

2. Resolvemos las potencias. Los dos exponentes son pares, así que los signos menos desaparecen.

3. Comparamos con la original. f(−x)=x4−8x2f(-x) = x^{4} - 8 x^{2}, que es exactamente f(x)f(x).

4. Concluimos. Cumple la condición de función par, o sea simetría respecto del eje yy.

Respuesta: es par

2. Mostrá con un valor concreto que f(x)=2x2+5xf(x) = 2 x^{2} + 5 x no es par ni impar. Usá x=1x = 1.

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1. Calculamos ff en el valor elegido. f(1)=2(1)2+5(1)=7f(1) = 2 (1)^{2} + 5 (1) = 7

2. Calculamos ff en el opuesto. f(−1)=2(−1)2+5(−1)=−3f(-1) = 2 (-1)^{2} + 5 (-1) = -3

3. Comparamos con la condición de par. Sería f(−x)=f(x)f(-x) = f(x), pero −3≠7-3 \neq 7.

4. Comparamos con la condición de impar. Sería f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x), pero −f(1)=−7-f(1) = -7 y tampoco coincide con −3-3. Un solo valor que falle alcanza para descartar las dos.

Respuesta: no es par ni impar: en x=1x = 1 da 77 y en x=−1x = -1 da −3-3

3. Determiná la paridad de f(x)=x7cos⁡xf(x) = x^{7}\cos x.

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1. Estudiamos cada factor por separado. x7x^{7} tiene exponente impar, así que es impar. El coseno es par.

2. Reemplazamos xx por −x-x. f(−x)=(−x)7cos⁡(−x)=−x7cos⁡xf(-x) = (-x)^{7}\cos(-x) = -x^{7}\cos x

3. Comparamos con f(x)f(x). Queda −(x7cos⁡x)=−f(x)-\left(x^{7}\cos x\right) = -f(x).

4. Concluimos. Impar por par da impar. La regla vale para el producto, no para la suma.

Respuesta: es impar

4. Hallá dónde crece y dónde decrece f(x)=3x2+12xf(x) = 3 x^{2} + 12 x, y decidí si en x=−2x = -2 la función es positiva y si es creciente.

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1. Llevamos la función a su forma canónica. 3x2+12x=3(x+2)2−123 x^{2} + 12 x = 3(x + 2)^{2} - 12, así que el vértice es (−2,−12)(-2, -12).

2. Usamos la apertura. Como 3>03 > 0 la parábola abre hacia arriba: baja hasta el vértice y sube después.

3. Escribimos los intervalos. Decrece en (−∞,−2)(-\infty, -2) y crece en (−2,+∞)(-2, +\infty).

4. Contestamos las dos preguntas del punto pedido. f(−2)=−12f(-2) = -12, que es negativo, así que ahí la función no es positiva. Y en el vértice no crece ni decrece. Ser positiva mira la altura; crecer mira la dirección: son cosas distintas.

Respuesta: decrece en (−∞,−2)(-\infty, -2) y crece en (−2,+∞)(-2, +\infty); en x=−2x = -2 no es positiva ni creciente

5. Determiná la paridad de f(x)=5x2+2xf(x) = 5 x^{2} + 2 x.

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1. Reemplazamos xx por −x-x. f(−x)=5(−x)2+2(−x)=5x2−2xf(-x) = 5(-x)^{2} + 2(-x) = 5 x^{2} - 2 x

2. Comparamos con f(x)f(x). 5x2−2x5 x^{2} - 2 x no es igual a 5x2+2x5 x^{2} + 2 x: el segundo término cambió de signo.

3. Comparamos con −f(x)-f(x). −f(x)=−5x2−2x-f(x) = - 5 x^{2} - 2 x, que tampoco coincide: ahora el que no cambió es el primero.

4. Concluimos. No cumple ninguna de las dos condiciones. La mayoría de las funciones está en este caso.

Respuesta: no es par ni impar

6. Mostrá con un valor concreto que f(x)=x2+3xf(x) = x^{2} + 3 x no es par ni impar. Usá x=2x = 2.

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1. Calculamos ff en el valor elegido. f(2)=(2)2+3(2)=10f(2) = (2)^{2} + 3 (2) = 10

2. Calculamos ff en el opuesto. f(−2)=(−2)2+3(−2)=−2f(-2) = (-2)^{2} + 3 (-2) = -2

3. Comparamos con la condición de par. Sería f(−x)=f(x)f(-x) = f(x), pero −2≠10-2 \neq 10.

4. Comparamos con la condición de impar. Sería f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x), pero −f(2)=−10-f(2) = -10 y tampoco coincide con −2-2. Un solo valor que falle alcanza para descartar las dos.

Respuesta: no es par ni impar: en x=2x = 2 da 1010 y en x=−2x = -2 da −2-2

7. Determiná la paridad de f(x)=sen⁡xx9f(x) = \dfrac{\operatorname{sen} x}{x^{9}}.

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1. Estudiamos numerador y denominador. sen⁡x\operatorname{sen} x es impar y x9x^{9} también, porque el exponente es impar.

2. Reemplazamos xx por −x-x. f(−x)=−sen⁡x−x9f(-x) = \dfrac{-\operatorname{sen} x}{-x^{9}}

3. Simplificamos los signos. Los dos menos se cancelan y queda f(x)f(x).

4. Concluimos. Impar sobre impar da par. Notá que el dominio excluye el cero, y eso no afecta la simetría.

Respuesta: es par

8. Hallá dónde crece y dónde decrece f(x)=2x2−4x−6f(x) = 2 x^{2} - 4 x - 6, y decidí si en x=1x = 1 la función es positiva y si es creciente.

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1. Llevamos la función a su forma canónica. 2x2−4x−6=2(x−1)2−82 x^{2} - 4 x - 6 = 2(x - 1)^{2} - 8, así que el vértice es (1,−8)(1, -8).

2. Usamos la apertura. Como 2>02 > 0 la parábola abre hacia arriba: baja hasta el vértice y sube después.

3. Escribimos los intervalos. Decrece en (−∞,1)(-\infty, 1) y crece en (1,+∞)(1, +\infty).

4. Contestamos las dos preguntas del punto pedido. f(1)=−8f(1) = -8, que es negativo, así que ahí la función no es positiva. Y en el vértice no crece ni decrece. Ser positiva mira la altura; crecer mira la dirección: son cosas distintas.

Respuesta: decrece en (−∞,1)(-\infty, 1) y crece en (1,+∞)(1, +\infty); en x=1x = 1 no es positiva ni creciente

9. Determiná la paridad de f(x)=3x3+xf(x) = 3 x^{3} + x.

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1. Reemplazamos xx por −x-x. f(−x)=3(−x)3+1(−x)f(-x) = 3(-x)^{3} + 1(-x)

2. Resolvemos las potencias. Los exponentes son impares, así que el signo sobrevive: f(−x)=−3x3−xf(-x) = - 3 x^{3} - x.

3. Sacamos factor común −1-1. f(−x)=−(3x3+x)=−f(x)f(-x) = -\left(3 x^{3} + x\right) = -f(x).

4. Concluimos. Cumple la condición de función impar, o sea simetría respecto del origen.

Respuesta: es impar

10. Mostrá con un valor concreto que f(x)=2x2+xf(x) = 2 x^{2} + x no es par ni impar. Usá x=5x = 5.

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1. Calculamos ff en el valor elegido. f(5)=2(5)2+(5)=55f(5) = 2 (5)^{2} + (5) = 55

2. Calculamos ff en el opuesto. f(−5)=2(−5)2+(−5)=45f(-5) = 2 (-5)^{2} + (-5) = 45

3. Comparamos con la condición de par. Sería f(−x)=f(x)f(-x) = f(x), pero 45≠5545 \neq 55.

4. Comparamos con la condición de impar. Sería f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x), pero −f(5)=−55-f(5) = -55 y tampoco coincide con 4545. Un solo valor que falle alcanza para descartar las dos.

Respuesta: no es par ni impar: en x=5x = 5 da 5555 y en x=−5x = -5 da 4545

11. Determiná la paridad de f(x)=xsen⁡xf(x) = x\operatorname{sen} x.

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1. Estudiamos cada factor. xx es impar y sen⁡x\operatorname{sen} x también es impar.

2. Reemplazamos xx por −x-x. f(−x)=(−x)sen⁡(−x)=(−x)(−sen⁡x)f(-x) = (-x)\operatorname{sen}(-x) = (-x)(-\operatorname{sen} x)

3. Resolvemos el producto de signos. Los dos menos se cancelan: f(−x)=xsen⁡x=f(x)f(-x) = x\operatorname{sen} x = f(x).

4. Concluimos. Impar por impar da par, igual que el producto de dos números negativos.

Respuesta: es par

12. Hallá dónde crece y dónde decrece f(x)=2x2+4x−16f(x) = 2 x^{2} + 4 x - 16, y decidí si en x=−1x = -1 la función es positiva y si es creciente.

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1. Llevamos la función a su forma canónica. 2x2+4x−16=2(x+1)2−182 x^{2} + 4 x - 16 = 2(x + 1)^{2} - 18, así que el vértice es (−1,−18)(-1, -18).

2. Usamos la apertura. Como 2>02 > 0 la parábola abre hacia arriba: baja hasta el vértice y sube después.

3. Escribimos los intervalos. Decrece en (−∞,−1)(-\infty, -1) y crece en (−1,+∞)(-1, +\infty).

4. Contestamos las dos preguntas del punto pedido. f(−1)=−18f(-1) = -18, que es negativo, así que ahí la función no es positiva. Y en el vértice no crece ni decrece. Ser positiva mira la altura; crecer mira la dirección: son cosas distintas.

Respuesta: decrece en (−∞,−1)(-\infty, -1) y crece en (−1,+∞)(-1, +\infty); en x=−1x = -1 no es positiva ni creciente

Integradores de Funciones: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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