Ejercicios: Cómo leer un gráfico

eje y: evaluar en

x = 0

· eje x: resolver

f(x) = 0

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá los cortes con los dos ejes de $f(x) = x^{2} - 3 x - 4$ .

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1. Buscamos el corte con el eje $y$ . Evaluamos en cero: $f(0) = -4$ .

2. Escribimos ese punto. $(0, -4)$ . Hay uno solo, porque una vertical corta una vez.

3. Buscamos los cortes con el eje $x$ . Resolvemos $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ . Factorizando queda $(x + 1)(x - 4) = 0$ .

4. Despejamos cada factor. $x = -1$ y $x = 4$ , así que los puntos son $(-1, 0)$ y $(4, 0)$ .

Respuesta: corta el eje $y$ en $(0, -4)$ y el eje $x$ en $(-1, 0)$ y $(4, 0)$

2. Estudiá el signo de $f(x) = x^{2} - x - 6$ .

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1. Buscamos las raíces. $x^{2} - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$ , que se anula en $x = -2$ y $x = 3$ .

2. Partimos la recta con esas raíces. Quedan tres tramos: $(-\infty, -2)$ , $(-2, 3)$ y $(3, +\infty)$ .

3. Probamos un valor de cada tramo. $f(-3) = 6$ , $f(\dfrac{1}{2}) = - \dfrac{25}{4}$ y $f(4) = 6$ .

4. Traducimos los signos. Positiva, negativa y positiva. El signo solo puede cambiar en una raíz, así que con un valor por tramo alcanza.

Respuesta: positiva en $(-\infty, -2)$ y en $(3, +\infty)$ , negativa en $(-2, 3)$

3. Decidí en qué intervalo el gráfico de $g(x) = 7$ queda por encima del de $h(x) = x^{2} + 3$ .

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1. Planteamos la comparación. Queremos $g(x) > h(x)$ , o sea $7 > x^{2} + 3$ .

2. Pasamos todo a un lado. $4 - x^{2} > 0$ . Conviene estudiar el signo de una sola función en vez de comparar dos.

3. Buscamos dónde se cortan. $4 - x^{2} = 0$ se factoriza como $-(x + 2)(x - 2) = 0$ , con soluciones $x = -2$ y $x = 2$ .

4. Elegimos el tramo correcto. La parábola $4 - x^{2}$ abre hacia abajo, así que es positiva entre sus raíces. Se verifica en $x = 0$ , donde vale $4$ .

Respuesta: $g$ está por encima en $(-2, 2)$

4. Sea $f(x) = 2 x^{2} + x - 5$ . Decidí si los puntos $(3, 17)$ y $(-3, 10)$ pertenecen a su gráfico, y hallá $k$ para que $(1, k)$ también pertenezca.

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1. Recordamos qué significa pertenecer al gráfico. Un punto está en el gráfico cuando su segunda coordenada es el valor de la función en la primera.

2. Probamos el primer punto. $f(3) = 16$ , y el punto tiene altura $17$ . No coinciden.

3. Probamos el segundo. $f(-3) = 2 (-3)^{2} + (-3) - 5 = 10$ , que es justo su altura. Sí pertenece.

4. Hallamos $k$ . El punto tiene abscisa $1$ , así que $k = f(1) = -2$ .

Respuesta: $(3, 17)$ no pertenece, $(-3, 10)$ sí, y $k = -2$

5. Hallá los cortes con los dos ejes de $f(x) = x^{2} + x - 6$ .

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1. Buscamos el corte con el eje $y$ . Evaluamos en cero: $f(0) = -6$ .

2. Escribimos ese punto. $(0, -6)$ . Hay uno solo, porque una vertical corta una vez.

3. Buscamos los cortes con el eje $x$ . Resolvemos $x^{2} + x - 6 = 0$ . Factorizando queda $(x - 2)(x + 3) = 0$ .

4. Despejamos cada factor. $x = 2$ y $x = -3$ , así que los puntos son $(2, 0)$ y $(-3, 0)$ .

Respuesta: corta el eje $y$ en $(0, -6)$ y el eje $x$ en $(2, 0)$ y $(-3, 0)$

6. Estudiá el signo de $f(x) = x^{2} + 5 x + 4$ .

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1. Buscamos las raíces. $x^{2} + 5 x + 4 = (x + 4)(x + 1)$ , que se anula en $x = -4$ y $x = -1$ .

2. Partimos la recta con esas raíces. Quedan tres tramos: $(-\infty, -4)$ , $(-4, -1)$ y $(-1, +\infty)$ .

3. Probamos un valor de cada tramo. $f(-5) = 4$ , $f(- \dfrac{5}{2}) = - \dfrac{9}{4}$ y $f(0) = 4$ .

4. Traducimos los signos. Positiva, negativa y positiva. El signo solo puede cambiar en una raíz, así que con un valor por tramo alcanza.

Respuesta: positiva en $(-\infty, -4)$ y en $(-1, +\infty)$ , negativa en $(-4, -1)$

7. Decidí en qué intervalo el gráfico de $g(x) = 2 x + 4$ queda por encima del de $h(x) = x^{2} + 1$ .

Ver solución

1. Planteamos la comparación. Queremos $g(x) > h(x)$ , o sea $2 x + 4 > x^{2} + 1$ .

2. Pasamos todo a un lado. $- x^{2} + 2 x + 3 > 0$ . Conviene estudiar el signo de una sola función en vez de comparar dos.

3. Buscamos dónde se cortan. $- x^{2} + 2 x + 3 = 0$ se factoriza como $-(x + 1)(x - 3) = 0$ , con soluciones $x = -1$ y $x = 3$ .

4. Elegimos el tramo correcto. La parábola $- x^{2} + 2 x + 3$ abre hacia abajo, así que es positiva entre sus raíces. Se verifica en $x = 1$ , donde vale $4$ .

Respuesta: $g$ está por encima en $(-1, 3)$

8. Sea $f(x) = x^{2} - 6 x + 2$ . Decidí si los puntos $(6, 3)$ y $(-6, 74)$ pertenecen a su gráfico, y hallá $k$ para que $(1, k)$ también pertenezca.

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1. Recordamos qué significa pertenecer al gráfico. Un punto está en el gráfico cuando su segunda coordenada es el valor de la función en la primera.

2. Probamos el primer punto. $f(6) = 2$ , y el punto tiene altura $3$ . No coinciden.

3. Probamos el segundo. $f(-6) = (-6)^{2} - 6 (-6) + 2 = 74$ , que es justo su altura. Sí pertenece.

4. Hallamos $k$ . El punto tiene abscisa $1$ , así que $k = f(1) = -3$ .

Respuesta: $(6, 3)$ no pertenece, $(-6, 74)$ sí, y $k = -3$

9. Hallá los cortes con los dos ejes de $f(x) = x^{2} + 4 x - 5$ .

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1. Buscamos el corte con el eje $y$ . Evaluamos en cero: $f(0) = -5$ .

2. Escribimos ese punto. $(0, -5)$ . Hay uno solo, porque una vertical corta una vez.

3. Buscamos los cortes con el eje $x$ . Resolvemos $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ . Factorizando queda $(x - 1)(x + 5) = 0$ .

4. Despejamos cada factor. $x = 1$ y $x = -5$ , así que los puntos son $(1, 0)$ y $(-5, 0)$ .

Respuesta: corta el eje $y$ en $(0, -5)$ y el eje $x$ en $(1, 0)$ y $(-5, 0)$

10. Estudiá el signo de $f(x) = x^{2} - 8 x + 12$ .

Ver solución

1. Buscamos las raíces. $x^{2} - 8 x + 12 = (x - 2)(x - 6)$ , que se anula en $x = 2$ y $x = 6$ .

2. Partimos la recta con esas raíces. Quedan tres tramos: $(-\infty, 2)$ , $(2, 6)$ y $(6, +\infty)$ .

3. Probamos un valor de cada tramo. $f(1) = 5$ , $f(4) = -4$ y $f(7) = 5$ .

4. Traducimos los signos. Positiva, negativa y positiva. El signo solo puede cambiar en una raíz, así que con un valor por tramo alcanza.

Respuesta: positiva en $(-\infty, 2)$ y en $(6, +\infty)$ , negativa en $(2, 6)$

11. Decidí en qué intervalo el gráfico de $g(x) = 8 - 2 x$ queda por encima del de $h(x) = x^{2} + 5$ .

Ver solución

1. Planteamos la comparación. Queremos $g(x) > h(x)$ , o sea $8 - 2 x > x^{2} + 5$ .

2. Pasamos todo a un lado. $- x^{2} - 2 x + 3 > 0$ . Conviene estudiar el signo de una sola función en vez de comparar dos.

3. Buscamos dónde se cortan. $- x^{2} - 2 x + 3 = 0$ se factoriza como $-(x + 3)(x - 1) = 0$ , con soluciones $x = -3$ y $x = 1$ .

4. Elegimos el tramo correcto. La parábola $- x^{2} - 2 x + 3$ abre hacia abajo, así que es positiva entre sus raíces. Se verifica en $x = -1$ , donde vale $4$ .

Respuesta: $g$ está por encima en $(-3, 1)$

12. Sea $f(x) = x^{2} + 4 x - 1$ . Decidí si los puntos $(2, 12)$ y $(-2, -5)$ pertenecen a su gráfico, y hallá $k$ para que $(1, k)$ también pertenezca.

Ver solución

1. Recordamos qué significa pertenecer al gráfico. Un punto está en el gráfico cuando su segunda coordenada es el valor de la función en la primera.

2. Probamos el primer punto. $f(2) = 11$ , y el punto tiene altura $12$ . No coinciden.

3. Probamos el segundo. $f(-2) = (-2)^{2} + 4 (-2) - 1 = -5$ , que es justo su altura. Sí pertenece.

4. Hallamos $k$ . El punto tiene abscisa $1$ , así que $k = f(1) = 4$ .

Respuesta: $(2, 12)$ no pertenece, $(-2, -5)$ sí, y $k = 4$

Integradores de Funciones: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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