Ejercicios: Dominio e imagen

dominio: en el eje x · imagen: en el eje y

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá el dominio de $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^{2} - 8 x + 7}$ .

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1. Buscamos qué hay que excluir. Hay un denominador, así que sacamos del dominio los valores que lo anulan.

2. Planteamos la condición. $x^{2} - 8 x + 7 \neq 0$

3. Factorizamos para resolver. $x^{2} - 8 x + 7 = (x - 1)(x - 7)$ , que se anula en $x = 1$ y $x = 7$ .

4. Escribimos el dominio. Todos los reales menos esos dos valores. El numerador no cambia nada: solo el denominador restringe.

Respuesta: el dominio es $\mathbb{R} - \{1, 7\}$

2. Hallá el dominio de $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 3}}{x - 7}$ .

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1. Identificamos las restricciones. Hay dos: una raíz de índice par arriba y un denominador abajo. Tienen que cumplirse las dos a la vez.

2. Planteamos la de la raíz. $x - 3 \geq 0$ , o sea $x \geq 3$ .

3. Planteamos la del denominador. $x - 7 \neq 0$ , o sea $x \neq 7$ .

4. Intersecamos las dos condiciones. Como $7 > 3$ , el valor $7$ cae adentro del intervalo y hay que sacarlo. El dominio es la intersección, no la unión.

Respuesta: el dominio es $[3, +\infty)$ sin el $7$

3. Hallá la imagen de $f(x) = 4 - \left(x + 1\right)^{2}$ .

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1. Miramos el cuadrado. $(x + 1)^{2}$ es siempre mayor o igual que cero, y vale cero solo en $x = -1$ .

2. Multiplicamos por el coeficiente. Al multiplicar por $-1$ , la desigualdad se da vuelta: el producto es menor o igual que cero.

3. Sumamos el término independiente. Queda $f(x) \leq 4$ .

4. Escribimos la imagen. El valor $4$ se alcanza en $x = -1$ , así que entra en el conjunto.

Respuesta: la imagen es $(-\infty, 4]$

4. Un rectángulo tiene perímetro $80$ cm. Si un lado mide $x$ , el área es $A(x) = x\left(40 - x\right)$ . Hallá el dominio con sentido del problema.

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1. Miramos el dominio de la fórmula sola. Es un polinomio, así que como fórmula existe para todo real.

2. Agregamos la condición del lado que mide $x$ . Un lado tiene que ser positivo: $x > 0$ .

3. Agregamos la condición del otro lado. El otro lado mide $40 - x$ y también tiene que ser positivo: $x < 40$ .

4. Intersecamos. El contexto recorta el dominio de la fórmula: los extremos quedan afuera porque ahí el rectángulo se degenera en un segmento.

Respuesta: el dominio con sentido es $(0, 40)$

5. Hallá el dominio de $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^{2} + 7 x + 10}$ .

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1. Buscamos qué hay que excluir. Hay un denominador, así que sacamos del dominio los valores que lo anulan.

2. Planteamos la condición. $x^{2} + 7 x + 10 \neq 0$

3. Factorizamos para resolver. $x^{2} + 7 x + 10 = (x + 2)(x + 5)$ , que se anula en $x = -2$ y $x = -5$ .

4. Escribimos el dominio. Todos los reales menos esos dos valores. El numerador no cambia nada: solo el denominador restringe.

Respuesta: el dominio es $\mathbb{R} - \{-2, -5\}$

6. Hallá el dominio de $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 8}$ .

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1. Identificamos las restricciones. Hay dos: una raíz de índice par arriba y un denominador abajo. Tienen que cumplirse las dos a la vez.

2. Planteamos la de la raíz. $x + 2 \geq 0$ , o sea $x \geq -2$ .

3. Planteamos la del denominador. $x - 8 \neq 0$ , o sea $x \neq 8$ .

4. Intersecamos las dos condiciones. Como $8 > -2$ , el valor $8$ cae adentro del intervalo y hay que sacarlo. El dominio es la intersección, no la unión.

Respuesta: el dominio es $[-2, +\infty)$ sin el $8$

7. Hallá la imagen de $f(x) = 2 \left(x - 3\right)^{2} + 1$ .

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1. Miramos el cuadrado. $(x - 3)^{2}$ es siempre mayor o igual que cero, y vale cero solo en $x = 3$ .

2. Multiplicamos por el coeficiente. Al multiplicar por $2$ , la desigualdad se mantiene: el producto es mayor o igual que cero.

3. Sumamos el término independiente. Queda $f(x) \geq 1$ .

4. Escribimos la imagen. El valor $1$ se alcanza en $x = 3$ , así que entra en el conjunto.

Respuesta: la imagen es $[1, +\infty)$

8. El costo de producir $x$ unidades es $C(x) = 25 x + 900$ pesos, y el taller no puede fabricar más de $250$ unidades por día. Hallá el dominio con sentido del problema.

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1. Miramos la fórmula sola. Es lineal: como fórmula acepta cualquier real.

2. Pensamos qué representa $x$ . Es una cantidad de unidades producidas, así que no puede ser negativa.

3. Agregamos el tope de producción. No se pueden fabricar más de $250$ por día.

4. Escribimos el dominio. Además $x$ cuenta unidades enteras, así que el dominio son los enteros de $0$ a $250$ . El $0$ entra: producir nada cuesta el costo fijo de $900$ pesos.

Respuesta: los enteros $x$ con $0 \leq x \leq 250$

9. Hallá el dominio de $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^{2} - 2 x - 24}$ .

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1. Buscamos qué hay que excluir. Hay un denominador, así que sacamos del dominio los valores que lo anulan.

2. Planteamos la condición. $x^{2} - 2 x - 24 \neq 0$

3. Factorizamos para resolver. $x^{2} - 2 x - 24 = (x + 4)(x - 6)$ , que se anula en $x = -4$ y $x = 6$ .

4. Escribimos el dominio. Todos los reales menos esos dos valores. El numerador no cambia nada: solo el denominador restringe.

Respuesta: el dominio es $\mathbb{R} - \{-4, 6\}$

10. Hallá el dominio de $f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 3}}{x - 4}$ .

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1. Identificamos las restricciones. Hay dos: una raíz de índice par arriba y un denominador abajo. Tienen que cumplirse las dos a la vez.

2. Planteamos la de la raíz. $x + 3 \geq 0$ , o sea $x \geq -3$ .

3. Planteamos la del denominador. $x - 4 \neq 0$ , o sea $x \neq 4$ .

4. Intersecamos las dos condiciones. Como $4 > -3$ , el valor $4$ cae adentro del intervalo y hay que sacarlo. El dominio es la intersección, no la unión.

Respuesta: el dominio es $[-3, +\infty)$ sin el $4$

11. Hallá la imagen de $f(x) = \left(x - 2\right)^{2} - 3$ .

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1. Miramos el cuadrado. $(x - 2)^{2}$ es siempre mayor o igual que cero, y vale cero solo en $x = 2$ .

2. Multiplicamos por el coeficiente. Al multiplicar por $1$ , la desigualdad se mantiene: el producto es mayor o igual que cero.

3. Sumamos el término independiente. Queda $f(x) \geq -3$ .

4. Escribimos la imagen. El valor $-3$ se alcanza en $x = 2$ , así que entra en el conjunto.

Respuesta: la imagen es $[-3, +\infty)$

12. Un tanque con $720$ litros se vacía a razón de $24$ litros por minuto, así que el volumen a los $t$ minutos es $V(t) = 720 - 24 t$ . Hallá el dominio con sentido del problema.

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1. Miramos la fórmula sola. Es lineal y como fórmula existe para todo $t$ .

2. Pensamos qué representa $t$ . Es tiempo transcurrido desde que se abre la canilla: $t \geq 0$ .

3. Buscamos cuándo se vacía. $720 - 24t = 0$ da $t = 30$ minutos.

4. Escribimos el dominio. Después de ese instante la fórmula daría volumen negativo, que no tiene sentido físico.

Respuesta: el dominio con sentido es $[0, 30]$ minutos

Integradores de Funciones: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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