Dominio e imagen

El dominio es el conjunto de valores que la función acepta y la imagen el de los valores que devuelve. Casi todos los ejercicios de este tema son de dominio, porque la imagen suele requerir estudiar la función entera.

Cuando la función viene dada por una fórmula, el dominio es todo el conjunto de los reales salvo lo que rompa alguna cuenta. Y las cuentas que se rompen son siempre las mismas tres.

La primera es dividir por cero: hay que pedir que el denominador no se anule y sacar del dominio los valores que lo anulan. La segunda es la raíz de índice par: lo de adentro tiene que ser mayor o igual que cero, lo que suele dejar una inecuación para resolver. La tercera es el logaritmo: su argumento tiene que ser estrictamente positivo, sin incluir el cero.

Cuando aparece más de una restricción hay que cumplirlas todas a la vez, así que el dominio es la intersección de las condiciones y no la unión. Ese detalle se equivoca seguido.

Sobre el gráfico, el dominio se lee proyectando la curva sobre el eje horizontal y la imagen proyectándola sobre el vertical. Es la forma más rápida de estimarlos cuando el enunciado te da un dibujo en vez de una fórmula.

dominio: en el eje x · imagen: en el eje y

Cuándo se usa

Apenas veas una fracción con la variable en el denominador, una raíz de índice par o un logaritmo. Esos tres son la señal. Si el enunciado te da un gráfico y pregunta por el dominio, se lee proyectando sobre el eje horizontal, sin cuentas.

Ejemplo 1

Hallar el dominio de $f(x) = 1/(x - 3)$ .

Buscamos qué hay que excluir. Hay un denominador, así que no puede valer cero.
Planteamos la condición. $x - 3 \neq 0$
Despejamos. $x \neq 3$
Escribimos el dominio. Todos los reales menos el $3$ .
Respuesta: el dominio es $\mathbb{R} - {3}$

Ejemplo 2

Hallar el dominio de $f(x) = \sqrt{2x - 6}$ .

Buscamos qué hay que excluir. Hay una raíz cuadrada: lo de adentro no puede ser negativo.
Planteamos la condición. $2x - 6 \geq 0$
Despejamos. $2x \geq 6$ , entonces $x \geq 3$ .
Escribimos el dominio. Desde el $3$ inclusive hacia la derecha.
Respuesta: el dominio es $[3, +\infty )$

Error típico

Poner que el dominio de $\sqrt{x}$ es $x > 0$ . El cero sí entra, porque $\sqrt{0} = 0$ existe. La condición es $x \geq 0$ . Con el logaritmo sí es estricta.

Practicar

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Otros subtemas de Funciones

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .