Función logarítmica

El logaritmo responde una pregunta concreta: a qué exponente hay que elevar la base para obtener un número dado. Es la inversa de la exponencial, y de esa relación sale todo lo demás.

Como la exponencial solo devuelve positivos, el logaritmo solo acepta positivos: su dominio son los reales mayores que cero, sin incluir el cero. En cambio su imagen son todos los reales, porque la exponencial acepta cualquier exponente.

El gráfico es el de la exponencial reflejado respecto de la recta $y = x$ , que es lo que pasa siempre entre una función y su inversa. La asíntota horizontal de la exponencial se convierte en una asíntota vertical del logaritmo, ubicada en el cero.

Todos los logaritmos se anulan en el uno, porque cualquier base elevada a cero da uno. Ese punto es el ancla del gráfico.

Las propiedades son lo que más se usa en ejercicios: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos, el de un cociente es la resta, y el de una potencia baja el exponente multiplicando. Esa última es la que después permite derivar funciones con la variable en la base y en el exponente a la vez.

\log_{a} x = y

significa aʸ

= x

Cuándo se usa

Cuando hay que despejar una variable que está en un exponente: se aplica logaritmo a los dos lados y la propiedad de la potencia la baja. También cuando el ejercicio pide el dominio y aparece un logaritmo, porque su argumento tiene que ser estrictamente positivo.

Ejemplo 1

Calcular $\log_{3} 81$ y $\log_{5} (1/25)$ .

Planteamos la pregunta del primero. ¿A qué exponente hay que elevar $3$ para obtener $81$ ?
Probamos potencias. $3^{2} = 9$ , $3^{3} = 27$ , $3^{4} = 81$ . La respuesta es $4$ .
Planteamos el segundo. ¿A qué exponente hay que elevar $5$ para obtener $1/25$ ?
Recordamos los exponentes negativos. $5^{-2} = 1/25$ . La respuesta es $-2$ .
Respuesta: $\log_{3} 81 = 4$ y $\log_{5} (1/25) = -2$

Ejemplo 2

Hallar el dominio de $f(x) = \log(2x - 8)$ .

Planteamos la condición. El argumento tiene que ser estrictamente positivo: $2x - 8 > 0$ .
Pasamos el término independiente. $2x > 8$
Despejamos. $x > 4$
Escribimos el dominio. El $4$ queda excluido, por eso el intervalo es abierto.
Respuesta: el dominio es $(4, +\infty )$

Error típico

Escribir que el dominio de $\ln x$ es $x \geq 0$ . El cero no entra: la condición es estricta, $x > 0$ . Es la diferencia con la raíz cuadrada.

Practicar

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Otros subtemas de Funciones

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