Función polinómica

Un polinomio es una suma de potencias naturales de la variable, cada una con su coeficiente. El grado es la potencia más alta que aparece, y es el número que más información da sobre la función.

El grado acota la cantidad de raíces: un polinomio de grado $n$ tiene a lo sumo $n$ raíces reales. También acota la cantidad de subidas y bajadas del gráfico, que es a lo sumo una menos que el grado.

En los extremos manda el término de mayor grado, porque para valores grandes de la variable esa potencia domina a todas las demás. Si el grado es par las dos ramas van para el mismo lado; si es impar van para lados opuestos. El signo del coeficiente principal decide cuál.

Los polinomios están definidos y son continuos en todos los reales, sin excepciones. No hay denominadores que se anulen ni raíces de negativos: su dominio es siempre todo el conjunto de los reales, y eso los hace las funciones más cómodas de manejar.

Para graficarlos conviene factorizar. Cada factor da una raíz, y entre raíces consecutivas el signo de la función no cambia, así que evaluando un punto por tramo se arma el signo completo.

grado n: hasta n raíces

y n - 1

dobleces

Cuándo se usa

Cuando la fórmula es una suma de potencias enteras sin denominadores ni raíces. Si el ejercicio pide el comportamiento en el infinito, alcanza con mirar el término de mayor grado. Si pide el signo, hay que factorizar primero.

Ejemplo 1

Anticipar la forma de $f(x) = x^{3} - 4x$ sin hacer tabla.

Miramos el grado. Es $3$ , impar: las puntas van para lados opuestos.
Miramos el coeficiente principal. Es $1$ , positivo: viene de abajo a la izquierda y sube a la derecha.
Buscamos las raíces factorizando. $x(x^{2} - 4) = x(x-2)(x+2)$ , con raíces $-2, 0, 2$ .
Contamos los dobleces posibles. Hasta $2$ . Con tres raíces, tiene que doblar dos veces para volver a cruzar.
Respuesta: entra por abajo, cruza en $-2, 0, 2$ y sale por arriba

Ejemplo 2

Decidir cuántas raíces reales puede tener $f(x) = x^{4} + 1$ .

Miramos el grado. Es $4$ , así que el tope es cuatro raíces.
Analizamos el valor de la función. $x^{4}$ nunca es negativo, así que $x^{4} + 1 \geq 1$ .
Concluimos sobre las raíces. La función nunca vale cero: no corta el eje.
Verificamos con las puntas. Grado par y coeficiente positivo: las dos puntas van hacia arriba y la curva se queda entera por encima del eje.
Respuesta: no tiene ninguna raíz real, aunque el grado permita hasta cuatro

Error típico

Suponer que un polinomio de grado $n$ tiene siempre $n$ raíces reales. El grado es un tope: $x^{2} + 1$ es de grado dos y no tiene ninguna.

Practicar

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Otros subtemas de Funciones

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