Función exponencial

En la exponencial la variable está en el exponente, y esa diferencia con las potencias comunes cambia todo. En $x^{2}$ la base varía; en $2^{x}$ lo que varía es el exponente.

El dominio es todo el conjunto de los reales, porque cualquier número sirve como exponente. La imagen, en cambio, son solo los positivos: una potencia de base positiva nunca da cero ni negativo, por más grande que sea el exponente negativo.

El comportamiento lo decide la base. Si es mayor que uno la función crece, y crece cada vez más rápido. Si está entre cero y uno decrece, acercándose al eje sin tocarlo nunca. En los dos casos hay una asíntota horizontal en el cero.

Todas las exponenciales pasan por el punto de altura uno cuando el exponente vale cero, porque cualquier base elevada a cero da uno. Ese punto es común a todas y sirve de ancla para graficarlas.

Lo que caracteriza al crecimiento exponencial es que la función se multiplica por un factor fijo cada vez que la variable avanza una unidad, en lugar de sumarle una cantidad fija. Esa es la diferencia de fondo con el crecimiento lineal, y es la razón por la que a la larga cualquier exponencial creciente supera a cualquier polinomio.

y = a^{x}

con a >

0 y a \neq 1

Cuándo se usa

Cuando la variable aparece en el exponente. En problemas aplicados, cuando algo se multiplica por un factor fijo por período: interés compuesto, poblaciones, desintegración. Si en cambio se le suma una cantidad fija, es lineal y no exponencial.

Ejemplo 1

Comparar el crecimiento de $2^{x}$ y $x^{2}$ para valores grandes.

Evaluamos las dos en varios puntos. En $x = 2$ : las dos dan $4$ .
Seguimos con valores mayores. En $x = 4$ : las dos dan $16$ .
Pasamos ese punto. En $x = 5$ : la exponencial da $32$ y la cuadrática $25$ .
Vamos más lejos. En $x = 10$ : $1024$ contra $100$ . La diferencia se dispara.
Respuesta: la exponencial termina superando a cualquier potencia

Ejemplo 2

Hallar el dominio y la imagen de $f(x) = 3^{x}$ .

Analizamos el dominio. Se puede elevar $3$ a cualquier exponente, incluso negativo o fraccionario.
Escribimos el dominio. Todo $\mathbb{R}$ .
Analizamos la imagen. Una potencia de base positiva siempre da positivo, y nunca cero.
Escribimos la imagen. $(0, +\infty )$ , con el cero excluido.
Respuesta: dominio $\mathbb{R}$ e imagen $(0, +\infty )$

Error típico

Confundir $2^{x}$ con $x^{2}$ . En la primera la variable está arriba y en la segunda abajo. Crecen de forma completamente distinta: en $x = 10$ una da $1024$ y la otra $100$ .

Practicar

← Función raíz Función logarítmica →

Otros subtemas de Funciones

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .