Función raíz

La función raíz devuelve el número que elevado al índice da el argumento. Su comportamiento depende por completo de si ese índice es par o impar, y conviene tratar los dos casos por separado.

Con índice par el radicando tiene que ser mayor o igual que cero, porque ningún real elevado a una potencia par da negativo. Eso restringe el dominio y casi siempre deja una inecuación para resolver. El resultado además es siempre no negativo, así que la imagen también queda acotada.

Con índice impar no hay restricción: el dominio es todo el conjunto de los reales y la función toma valores de los dos signos, porque un número negativo elevado a una potencia impar sigue siendo negativo.

El gráfico de la raíz cuadrada es media parábola acostada, y eso no es casualidad: la raíz es la inversa del cuadrado restringido a los valores no negativos. Esa restricción es lo que hace que sea una función y no dos ramas.

Un detalle de notación que confunde: el símbolo de raíz cuadrada denota siempre el resultado no negativo. Cuando se resuelve una ecuación con un cuadrado aparecen dos soluciones, pero eso es por la ecuación, no porque la raíz devuelva dos valores.

par: radicando

\geq 0

· impar: sin restricción

Cuándo se usa

Cuando aparece una raíz y el ejercicio pide el dominio: si el índice es par hay que plantear que el radicando sea mayor o igual que cero. También cuando se pide la inversa de una cuadrática, que es donde aparece la raíz naturalmente.

Ejemplo 1

Hallar el dominio de $f(x) = \sqrt{6 - 2x}$ .

Planteamos la condición sobre el radicando. $6 - 2x \geq 0$
Pasamos el término con x. $6 \geq 2x$
Despejamos. $3 \geq x$ , o sea $x \leq 3$ .
Escribimos el dominio. Desde menos infinito hasta el $3$ inclusive.
Respuesta: el dominio es $(-\infty, 3]$

Ejemplo 2

Comparar el dominio de $\sqrt{x + 1}$ y $^{3}\sqrt{x + 1}$ .

Analizamos la primera. Índice par: hace falta $x + 1 \geq 0$ , o sea $x \geq -1$ .
Analizamos la segunda. Índice impar: no hay restricción.
Comparamos. La primera existe solo desde $-1$ hacia la derecha; la segunda existe en todos lados.
Verificamos con un valor negativo. En $x = -9$ : la cuadrada de $-8$ no existe, pero la cúbica de $-8$ vale $-2$ .
Respuesta: $[-1, +\infty )$ la primera y $\mathbb{R}$ la segunda

Error típico

Escribir que el dominio de $\sqrt{x - 2}$ es $x \geq 0$ . La condición se plantea sobre todo lo que está bajo el radical: $x - 2 \geq 0$ , que da $x \geq 2$ .

Practicar

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Otros subtemas de Funciones

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