Qué es una función

Una función es una regla que a cada valor de entrada le asigna exactamente un valor de salida. Si un mismo valor de entrada pudiera dar dos resultados distintos, la regla dejaría de ser una función.

Conviene pensarla como una máquina. Entra un número, adentro pasa algo, y sale otro número. Lo que pasa adentro puede ser una cuenta, una tabla o hasta una descripción en palabras: no hace falta que haya una fórmula para que exista una función.

Los nombres importan porque después aparecen en todos los enunciados. El conjunto de valores que la máquina acepta es el dominio. El conjunto de los que efectivamente salen es la imagen. Y el símbolo $f(x)$ no es la función: es el número que sale cuando entra $x$ . La función es $f$ a secas.

Sobre el gráfico esto se traduce en algo que se ve de un vistazo. Si una recta vertical corta la curva en más de un punto, ese valor de entrada estaría dando dos salidas y la curva no representa una función. Es el criterio más rápido para decidirlo mirando un dibujo.

Una advertencia sobre la variable. La letra que se use no cambia nada: $f(x) = x^{2}$ y $f(t) = t^{2}$ son la misma función. Lo que define a una función es qué hace, no cómo se llaman sus letras.

a cada x le corresponde un único y

Cuándo se usa

Cuando el enunciado te da una curva o una tabla y pregunta si define una función. Ahí va la recta vertical. También cuando pide evaluar en un punto, que es simplemente reemplazar, o cuando aparece la notación $f(a)$ y hay que entender que es un número y no una fórmula.

Ejemplo 1

Decidir si $y^{2} = x$ define una función de $x$ .

Despejamos y. $y = \pm \sqrt{x}$ , con los dos signos.
Probamos con un valor concreto. Si $x = 4$ , entonces $y$ puede ser $2$ o $-2$ .
Comparamos con la definición. Un mismo valor de entrada da dos salidas distintas.
Concluimos. No cumple la unicidad, así que no es función.
Respuesta: no es función: a $x = 4$ le corresponden dos valores

Ejemplo 2

Decidir si $y = x^{2} - 3$ define una función.

Miramos la fórmula. Para calcular $y$ hay que elevar al cuadrado y restar tres: dos operaciones que dan un único resultado.
Probamos con varios valores. $x = 2$ da $1$ ; $x = -2$ da $1$ también.
Verificamos que eso no rompa la definición. Que dos entradas den la misma salida está permitido. Lo prohibido es que una entrada dé dos salidas.
Concluimos. Cada $x$ tiene un solo $y$ .
Respuesta: sí es función

Error típico

Creer que una curva rara no puede ser función. La forma no importa: puede tener saltos, picos o tramos, y sigue siendo función mientras ninguna vertical la corte dos veces.

Practicar

Dominio e imagen →

Otros subtemas de Funciones

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .