Ejercicios: Qué es una función

a cada x le corresponde un único y

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Sea $f(x) = 5 x^{2} + 2 x + 7$ . Calculá $f(-4)$ y $f(0)$ .

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1. Reemplazamos $x$ por el primer valor. $f(-4) = 5 (-4)^{2} + 2 (-4) + 7$

2. Resolvemos la potencia y los productos. $f(-4) = 80 - 8 + 7$

3. Sumamos. $f(-4) = 79$

4. Evaluamos en cero. Los términos con $x$ se anulan y queda el independiente: $f(0) = 7$ .

Respuesta: $f(-4) = 79$ y $f(0) = 7$

2. Decidí si $y^{2} = x + 3$ define a $y$ como función de $x$ .

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1. Despejamos $y$ . $y = \pm\sqrt{x + 3}$ , con los dos signos.

2. Probamos con un valor concreto. Si $x = 1$ , el radicando vale $4$ y entonces $y = 2$ o $y = -2$ .

3. Comparamos con la definición. Una misma entrada está dando dos salidas distintas.

4. Concluimos. Falla la unicidad, así que no define una función.

Respuesta: no es función: a $x = 1$ le corresponden $2$ y $-2$

3. Una relación asigna a la entrada $2$ la salida $4$ , a la entrada $8$ la salida $9$ , y otra vez a la entrada $2$ la salida $2$ . Decidí si es una función.

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1. Ordenamos los pares. $(2, 4)$ , $(8, 9)$ y $(2, 2)$ .

2. Buscamos entradas repetidas. La entrada $2$ aparece dos veces.

3. Comparamos las salidas de esa entrada. La primera vez da $4$ y la segunda $2$ , que son distintas.

4. Concluimos. Una entrada con dos salidas rompe la definición.

Respuesta: no es función: la entrada $2$ tiene salidas $4$ y $2$

4. Sea $f(x) = 5 x - 2$ . Hallá el valor de $x$ tal que $f(x) = 13$ .

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1. Planteamos la ecuación. $5 x - 2 = 13$

2. Pasamos el término independiente. $5 x = 13 + 2 = 15$

3. Despejamos $x$ . $x = \dfrac{15}{5} = 3$

4. Verificamos. $f(3) = 5 \cdot 3 - 2 = 13$ . Coincide con lo pedido.

Respuesta: $x = 3$

5. Sea $f(x) = 4 x^{2} - 3 x - 6$ . Calculá $f(-5)$ y $f(0)$ .

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1. Reemplazamos $x$ por el primer valor. $f(-5) = 4 (-5)^{2} - 3 (-5) - 6$

2. Resolvemos la potencia y los productos. $f(-5) = 100 + 15 - 6$

3. Sumamos. $f(-5) = 109$

4. Evaluamos en cero. Los términos con $x$ se anulan y queda el independiente: $f(0) = -6$ .

Respuesta: $f(-5) = 109$ y $f(0) = -6$

6. Decidí si $x^{2} + y^{2} = 100$ define a $y$ como función de $x$ .

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1. Despejamos $y$ . $y^{2} = 100 - x^{2}$ , entonces $y = \pm\sqrt{100 - x^{2}}$ .

2. Probamos con una entrada del dominio. En $x = 0$ queda $y = 10$ o $y = -10$ .

3. Interpretamos el gráfico. Es una circunferencia de radio $10$ , y una vertical la corta en dos puntos.

4. Concluimos. No cumple el criterio de la recta vertical.

Respuesta: no es función: en $x = 0$ hay dos valores, $10$ y $-10$

7. Una relación asigna a la entrada $0$ la salida $7$ , a la entrada $7$ la salida $7$ , y a la entrada $0$ otra vez la salida $7$ . Decidí si es una función.

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1. Ordenamos los pares. $(0, 7)$ , $(7, 7)$ y $(0, 7)$ .

2. Buscamos entradas repetidas. La entrada $0$ aparece dos veces, pero con la misma salida $7$ .

3. Vemos si eso rompe la definición. Repetir el mismo par no agrega una salida nueva: sigue habiendo una sola para esa entrada.

4. Miramos el otro detalle. Que $0$ y $7$ compartan la salida $7$ está permitido: lo prohibido es al revés.

Respuesta: sí es función: ninguna entrada tiene dos salidas distintas

8. Sea $f(x) = 4 x + 9$ . Hallá el valor de $x$ tal que $f(x) = -7$ .

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1. Planteamos la ecuación. $4 x + 9 = -7$

2. Pasamos el término independiente. $4 x = -7 - 9 = -16$

3. Despejamos $x$ . $x = \dfrac{-16}{4} = -4$

4. Verificamos. $f(-4) = 4 \cdot (-4) + 9 = -7$ . Coincide con lo pedido.

Respuesta: $x = -4$

9. Sea $f(x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ . Calculá $f(-2)$ y $f(0)$ .

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1. Reemplazamos $x$ por el primer valor. $f(-2) = 3 (-2)^{2} - 4 (-2) + 2$

2. Resolvemos la potencia y los productos. $f(-2) = 12 + 8 + 2$

3. Sumamos. $f(-2) = 22$

4. Evaluamos en cero. Los términos con $x$ se anulan y queda el independiente: $f(0) = 2$ .

Respuesta: $f(-2) = 22$ y $f(0) = 2$

10. Decidí si $y^{3} = x + 8$ define a $y$ como función de $x$ .

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1. Despejamos $y$ . $y = \sqrt[3]{x + 8}$ , con un solo signo.

2. Miramos por qué no aparece el $\pm$ . La raíz de índice impar de un número real da un único resultado, sea positivo o negativo.

3. Probamos con dos valores. En $x = 0$ da $y = 2$ , y en $x = -16$ da $y = -2$ . Un valor cada vez.

4. Concluimos. Cada entrada tiene exactamente una salida.

Respuesta: sí es función: la raíz cúbica devuelve un único valor

11. Una relación asigna a la entrada $1$ la salida $6$ , a la entrada $4$ la salida $1$ y a la entrada $5$ la salida $7$ . Decidí si es una función y cuál es su imagen.

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1. Ordenamos los pares. $(1, 6)$ , $(4, 1)$ y $(5, 7)$ .

2. Buscamos entradas repetidas. Las entradas $1$ , $4$ y $5$ son todas distintas.

3. Concluimos sobre la definición. Cada entrada tiene una única salida, así que es función.

4. Escribimos la imagen. Es el conjunto de las salidas que efectivamente aparecen: $\{6, 1, 7\}$ .

Respuesta: sí es función, con imagen $\{6, 1, 7\}$

12. Sea $f(x) = 3 x + 7$ . Hallá el valor de $x$ tal que $f(x) = -9$ .

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1. Planteamos la ecuación. $3 x + 7 = -9$

2. Pasamos el término independiente. $3 x = -9 - 7 = -16$

3. Despejamos $x$ . $x = \dfrac{-16}{3} = - \dfrac{16}{3}$

4. Verificamos. $f(- \dfrac{16}{3}) = 3 \cdot (- \dfrac{16}{3}) + 7 = -9$ . Coincide con lo pedido.

Respuesta: $x = - \dfrac{16}{3}$

Integradores de Funciones: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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