Integradores de Funciones

1. Igualamos a cero. $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ se factoriza como $(x - 1)(x - 5) = 0$.

2. Leemos las raíces. Los factores se anulan en $x = 1$ y en $x = 5$.

3. Ubicamos el vértice en $x$. El vértice está en el punto medio de las raíces: $x_v = \dfrac{1 + 5}{2} = 3$.

4. Calculamos el vértice en $y$. $y_v = f(3) = 3^{2} - 6 \cdot 3 + 5 = -4$.

Respuesta: raíces $x = 1$ y $x = 5$; vértice en $x_v = 3$, $y_v = -4$

b)

1. Miramos el dominio. Es un polinomio, así que no hay divisiones ni raíces que restrinjan nada: se puede evaluar en cualquier número real.

2. Usamos el vértice. Como el coeficiente de $x^{2}$ es positivo, la parábola abre hacia arriba y el vértice es el punto más bajo: el mínimo vale $y_v = -4$.

3. Escribimos la imagen. Desde ese mínimo la función toma todos los valores hacia arriba, así que la imagen es $[-4, +\infty)$.

Respuesta: dominio $\mathbb{R}$; imagen $[-4, +\infty)$, con mínimo $y = -4$

c)

1. Usamos el eje de simetría. La parábola abre hacia arriba, así que baja hasta el vértice y sube después. El vértice está en $x_v = 3$.

2. Escribimos los intervalos. Decrece en $(-\infty, 3)$ y crece en $(3, +\infty)$.

3. Probamos la paridad. $f(1) = 0$ y $f(-1) = 12$. No son iguales, así que no es par, y no son opuestos, así que tampoco es impar.

4. Lo vemos en el gráfico. Una parábola es simétrica respecto de su eje, y acá el eje es $x = 3$, no el eje $y$. Solo sería par si el vértice estuviera sobre el eje $y$.

Respuesta: decrece en $(-\infty, 3)$ y crece en $(3, +\infty)$; no es par ni impar

d)

1. Multiplicamos. $(x^{2} - 6 x + 5)(x + 2) = x^{3} - 4 x^{2} - 7 x + 10$.

2. Aprovechamos lo que ya sabemos. No hace falta resolver una cúbica: el polinomio ya está factorizado como $(x - 1)(x - 5)(x + 2)$.

3. Leemos las tres raíces. Se anula cuando se anula alguno de los tres factores: $x = -2$, $x = 1$ y $x = 5$.

4. Verificamos el grado. Un polinomio de grado $3$ tiene a lo sumo tres raíces reales, y acá aparecen las tres.

Respuesta: $x = -2$, $x = 1$ y $x = 5$

1. Leemos los dos parámetros. En $y = mx + b$ la pendiente es el número que multiplica a $x$ y la ordenada al origen es el término suelto: $m = 2$ y $b = -6$.

2. Igualamos a cero. $2 x - 6 = 0$ da $2x = 6$.

3. Despejamos. $x = \dfrac{6}{2} = 3$.

Respuesta: $m = 2$, $b = -6$ y raíz en $x = 3$

b)

1. Escribimos la composición. $(g \circ f)(x) = g(f(x))$: donde $g$ dice $x$, va toda $f$.

2. Reemplazamos. $g(2 x - 6) = (2 x - 6)^{2} + 1$.

3. Desarrollamos el cuadrado. $(2 x - 6)^{2} = 4x^{2} - 24x + 36$, y sumando $1$ queda $4 x^{2} - 24 x + 37$.

Respuesta: $(g \circ f)(x) = 4 x^{2} - 24 x + 37$

c)

1. Aplicamos la fórmula del vértice. $x_v = \dfrac{-(-24)}{2 \cdot 4} = 3$.

2. Calculamos la altura. $y_v = 4 \cdot 3^{2} - 24 \cdot 3 + 37 = 1$.

3. Vemos por qué coincide. $g$ tiene su mínimo cuando su entrada vale $0$, y su entrada es $f$. Así que la composición alcanza el mínimo justo donde $f$ se anula, que es la raíz de a): $x = 3$.

Respuesta: vértice en $x_v = 3$, $y_v = 1$

d)

1. Evaluamos. $(g \circ f)(3) = 4 x^{2} - 24 x + 37$ en $x = 3$ da $1$.

2. Lo vemos por el camino largo. $f(3) = 0$ y después $g(0) = 1$. Da lo mismo, como tiene que ser.

3. Justificamos. Una función le asigna a cada entrada una sola salida. Si $f$ le asigna a cada $x$ una sola imagen, y $g$ le asigna a esa imagen una sola salida, el resultado final también es único. Por eso la composición vuelve a ser función.

Respuesta: $(g \circ f)(3) = 1$

1. Buscamos dónde se anula el denominador. $x + 3 = 0$ da $x = -3$, así que ese valor queda afuera del dominio.

2. Escribimos el dominio. Todos los reales menos ese: $\mathbb{R} - \{-3\}$.

3. Asíntota vertical. En $x = -3$ el denominador se anula y el numerador no (vale $-5$), así que ahí hay asíntota vertical.

4. Asíntota horizontal. Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales: $y = \dfrac{1}{1} = 1$.

Respuesta: dominio $\mathbb{R} - \{-3\}$; asíntota vertical $x = -3$ y asíntota horizontal $y = 1$

b)

1. Despejamos $x$ en función de $y$. De $y = \dfrac{x - 2}{x + 3}$ sale $y(x + 3) = x - 2$, o sea $yx + 3y = x - 2$.

2. Agrupamos. $yx - x = -2 - 3y$, es decir $x(y - 1) = -2 - 3y$.

3. Vemos qué valor se cae. Para despejar $x$ hay que dividir por $y - 1$, así que $y = 1$ no se puede alcanzar. Es exactamente la asíntota horizontal de a).

4. Escribimos la imagen. Cualquier otro valor sí se alcanza, así que la imagen es $\mathbb{R} - \{1\}$.

Respuesta: imagen $\mathbb{R} - \{1\}$

c)

1. Ponemos la condición de la raíz. Dentro de una raíz cuadrada solo puede haber números mayores o iguales que cero, así que hace falta $\dfrac{x - 2}{x + 3} \geq 0$.

2. Buscamos dónde cambia de signo. El numerador se anula en $x = 2$ y el denominador en $x = -3$. Esos dos puntos parten la recta en tres tramos.

3. Probamos un valor de cada tramo. En $x = -4$ da $\dfrac{-6}{-1} = 6 > 0$. En $x = 0$ da $\dfrac{-2}{3} < 0$. En $x = 3$ da $\dfrac{1}{6} > 0$.

4. Armamos el dominio. Quedan el primer tramo y el tercero. En $x = 2$ el cociente vale $0$ y la raíz existe, así que ese punto entra. En $x = -3$ no está definida ni $f$, así que no.

Respuesta: dominio de $h$: $(-\infty, -3) \cup [2, +\infty)$

d)

1. Traducimos la pregunta. Estar por encima del eje $x$ es valer más que cero, así que se trata del mismo estudio de signo de c) pero con desigualdad estricta.

2. Sacamos el punto donde vale cero. En $x = 2$ la función vale $0$: ahí el gráfico toca el eje, no está por encima.

3. Escribimos los intervalos. Queda por encima en $(-\infty, -3)$ y en $(2, +\infty)$.

4. Lo cruzamos con las asíntotas. Tiene sentido con a): a la izquierda de $x = -3$ la función se va para arriba, y a la derecha de $x = 2$ sube acercándose a $y = 1$ desde abajo.

Respuesta: por encima del eje en $(-\infty, -3)$ y en $(2, +\infty)$

1. Miramos qué hace la exponencial. Cuando $x$ se va a $-\infty$, $2^{x}$ se acerca a $0$ sin llegar nunca.

2. Ubicamos la asíntota. Entonces $f$ se acerca a $3 \cdot 0 - 12 = -12$: la asíntota horizontal es $y = -12$.

3. Calculamos la ordenada al origen. $f(0) = 3 \cdot 2^{0} - 12 = 3 - 12 = -9$.

Respuesta: asíntota horizontal $y = -12$; ordenada al origen $f(0) = -9$

b)

1. Igualamos a cero. $3 \cdot 2^{x} - 12 = 0$ da $3 \cdot 2^{x} = 12$.

2. Despejamos la potencia. $2^{x} = \dfrac{12}{3} = 4$.

3. Aplicamos logaritmo en base $2$. $x = \log_{2} 4$, y como $2^{2} = 4$, resulta $x = 2$.

Respuesta: raíz en $x = 2$

c)

1. Escribimos la ecuación. $y = 3 \cdot 2^{x} - 12$.

2. Despejamos la potencia. $y + 12 = 3 \cdot 2^{x}$, o sea $2^{x} = \dfrac{y + 12}{3}$.

3. Aplicamos logaritmo. $x = \log_{2}\left(\dfrac{y + 12}{3}\right)$.

4. Intercambiamos los nombres. $f^{-1}(x) = \log_{2}\left(\dfrac{x + 12}{3}\right)$.

Respuesta: $f^{-1}(x) = \log_{2}\left(\dfrac{x + 12}{3}\right)$

d)

1. Ponemos la condición del logaritmo. El argumento de un logaritmo tiene que ser estrictamente positivo: $\dfrac{x + 12}{3} > 0$.

2. Despejamos. Como $3 > 0$, alcanza con $x + 12 > 0$, o sea $x > -12$.

3. Comparamos con a). La asíntota horizontal de $f$ era $y = -12$, y la exponencial nunca la toca: la imagen de $f$ es $(-12, +\infty)$.

4. Concluimos. Coinciden, y tiene que ser así: la inversa intercambia dominio con imagen.

Respuesta: dominio de $f^{-1}$: $(-12, +\infty)$, que es la imagen de $f$

1. Probamos los divisores del término independiente. El término independiente es $6$, así que las raíces enteras posibles son $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$ y $\pm 6$.

2. Encontramos la primera. $p(-1) = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$, así que $x = -1$ es raíz y $(x + 1)$ es factor.

3. Dividimos. $p(x) = (x + 1)(x^{2} - 5x + 6)$.

4. Resolvemos la cuadrática. $x^{2} - 5x + 6 = 0$ se factoriza como $(x - 2)(x - 3)$, así que las otras dos raíces son $x = 2$ y $x = 3$.

Respuesta: $x = -1$, $x = 2$ y $x = 3$

b)

1. Partimos la recta. Las tres raíces cortan la recta en cuatro tramos: antes de $-1$, entre $-1$ y $2$, entre $2$ y $3$, y después de $3$.

2. Probamos un valor de cada tramo. $p(-2) = -20$, $p(0) = 6$, $p(\dfrac{5}{2}) = - \dfrac{7}{8}$ y $p(4) = 10$.

3. Leemos los signos. Negativo, positivo, negativo y positivo: como las tres raíces son simples, el signo se da vuelta en cada una.

4. Escribimos la respuesta. Queda por encima del eje en los tramos donde dio positivo.

Respuesta: por encima del eje en $(-1, 2)$ y en $(3, +\infty)$

c)

1. Recordamos las dos condiciones. Par es $p(-x) = p(x)$ para todo $x$; impar es $p(-x) = -p(x)$ para todo $x$.

2. Calculamos $p(-x)$. $p(-x) = -x^{3} - 4x^{2} - x + 6$.

3. Comparamos. No es igual a $p(x)$, porque los términos de grado impar cambiaron de signo y los de grado par no. Y tampoco es $-p(x)$, por la misma razón al revés.

4. Lo confirmamos con un número. $p(1) = 4$ y $p(-1) = 0$: ni iguales ni opuestos.

Respuesta: no es par ni impar

d)

1. Interpretamos el cambio. Reemplazar $x$ por $x - 1$ corre el gráfico una unidad hacia la derecha.

2. Corremos las raíces. Si $p$ se anulaba en $r$, entonces $q$ se anula en $r + 1$: las raíces de a) pasan a ser $0$, $3$ y $4$.

3. Desarrollamos para comprobarlo. $q(x) = x^{3} - 7 x^{2} + 12 x$.

4. Verificamos una. $q(0) = 0$, como tenía que dar.

Respuesta: $q(x) = x^{3} - 7 x^{2} + 12 x$, con raíces $x = 0$, $x = 3$ y $x = 4$

1. Identificamos la forma. $f(x) = A\operatorname{sen}(\omega x)$ con $A = 3$ y $\omega = 2$.

2. Leemos la amplitud. La amplitud es $|A| = 3$: la función oscila entre $-3$ y $3$.

3. Calculamos el período. El período es $\dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$.

Respuesta: amplitud $3$ y período $\pi$

b)

1. Separamos los dos efectos. El $3$ de afuera y el $2$ de adentro hacen cosas distintas.

2. El factor de afuera. Multiplicar por $3$ estira el gráfico en vertical: los valores extremos pasan de $1$ y $-1$ a $3$ y $-3$. Es la amplitud de a).

3. El factor de adentro. Multiplicar $x$ por $2$ comprime el gráfico en horizontal a la mitad: el período pasa de $2\pi$ a $\pi$, que es el de a).

4. Ojo con la dirección. El factor de adentro comprime cuando es mayor que uno, no estira. Es el error más común de este tema.

Respuesta: estiramiento vertical de factor $3$ y compresión horizontal de factor $\dfrac{1}{2}$

c)

1. Calculamos $f(-x)$. $f(-x) = 3\operatorname{sen}(-2x)$.

2. Usamos que el seno es impar. $\operatorname{sen}(-u) = -\operatorname{sen}(u)$, así que $f(-x) = -3\operatorname{sen}(2x) = -f(x)$.

3. Concluimos. Cumple la condición de impar, así que el gráfico es simétrico respecto del origen.

4. Lo chequeamos con un número. $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 3$ y $f\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -3$: opuestos.

Respuesta: es impar

d)

1. Reemplazamos. $g(x) = 3\operatorname{sen}\left(2\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right)\right) = 3\operatorname{sen}\left(2x - \dfrac{\pi}{2}\right)$.

2. Interpretamos. Es el mismo gráfico de $f$ corrido $\dfrac{\pi}{4}$ hacia la derecha.

3. Corremos los ceros. $f$ se anula en $0$, $\dfrac{\pi}{2}$, $\pi$ y así. Corriendo todo $\dfrac{\pi}{4}$ a la derecha, $g$ se anula en $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{3\pi}{4}$ y así.

4. Elegimos el primero positivo. Es $x = \dfrac{\pi}{4}$, y se verifica: $g\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 3\operatorname{sen}(0) = 0$.

Respuesta: $g(x) = 3\operatorname{sen}\left(2x - \dfrac{\pi}{2}\right)$, con primer cero positivo en $x = \dfrac{\pi}{4}$

1. Elegimos la rama de cada punto. $-\dfrac{\pi}{2}$ es negativo, así que va por la primera rama. $0$ y $3$ no son negativos, así que van por la segunda.

2. Evaluamos el primero. $f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 2\operatorname{sen}\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 2 \cdot (-1) = -2$.

3. Evaluamos los otros dos. $f(0) = 0 + 2 = 2$ y $f(3) = 3 + 2 = 5$.

4. Marcamos el borde. El caso $x = 0$ es el que hay que mirar con cuidado: la condición dice $x \geq 0$, así que el $0$ pertenece a la segunda rama, no a la primera.

Respuesta: $f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -2$, $f(0) = 2$ y $f(3) = 5$

b)

1. Aislamos la rama. Para $x < 0$ la función es $2\operatorname{sen}(x)$.

2. Leemos la amplitud. El factor que multiplica al seno es $2$, así que la amplitud es $2$ y la rama oscila entre $-2$ y $2$.

3. Calculamos el período. El argumento es $x$ pelado, o sea $\omega = 1$, así que el período es $\dfrac{2\pi}{1} = 2 \pi$.

4. Lo cruzamos con a). El valor $f\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = -2$ de a) es justamente el mínimo de la oscilación, que tiene que valer menos la amplitud.

Respuesta: amplitud $2$ y período $2 \pi$

c)

1. Recordamos la definición. Algo es función cuando a cada entrada le corresponde una sola salida. No importa con cuántas fórmulas esté escrita.

2. Vemos que las ramas no se pisan. Las condiciones son $x < 0$ y $x \geq 0$: cualquier número real cumple exactamente una de las dos, nunca las dos.

3. Miramos el punto de empalme. En $x = 0$ hay una sola regla aplicable, la segunda, y da $f(0) = 2$. No hay dos valores compitiendo.

4. Aclaramos qué no importa. Que el gráfico esté cortado no la descalifica: lo que la descalificaría es que un mismo $x$ tuviera dos imágenes.

Respuesta: sí es función: las condiciones $x < 0$ y $x \geq 0$ no se superponen y cubren todos los reales

d)

1. Miramos con qué valor llega la rama izquierda. Cuando $x$ se acerca a $0$ por la izquierda, $2\operatorname{sen}(x)$ se acerca a $2\operatorname{sen}(0) = 0$.

2. Miramos con qué valor arranca la derecha. La rama derecha en $0$ vale $f(0) = 2$, que es el valor de a).

3. Comparamos. Son distintos, así que el gráfico se corta: viene subiendo hacia $0$ y salta a $2$.

4. Medimos el corte. El tamaño del salto es la diferencia entre los dos: $2 - 0 = 2$.

Respuesta: sí se corta en $x = 0$, con un salto de tamaño $2$

1. Leemos la pendiente. En $y = mx + b$ la pendiente es el número que acompaña a $x$: $m = -3$. Es negativa, así que la recta baja.

2. Igualamos a cero. $7 - 3 x = 0$ da $3x = 7$.

3. Despejamos. $x = \dfrac{7}{3}$, que en decimales es aproximadamente $2{,}3333$.

Respuesta: $m = -3$ y raíz en $x = \dfrac{7}{3}$

b)

1. Interpretamos las dos transformaciones. El $x - 2$ corre el gráfico dos unidades a la derecha, y el $+5$ lo sube cinco.

2. Reemplazamos. $f(x - 2) = -3(x - 2) + 7 = -3x + 13$.

3. Sumamos el cinco. $h(x) = -3x + 13 + 5 = 18 - 3 x$.

4. Hallamos la raíz. $18 - 3 x = 0$ da $x = 6$. Notar que la pendiente no cambió: desplazar no inclina.

Respuesta: $h(x) = 18 - 3 x$, con raíz en $x = 6$

c)

1. Escribimos qué significa. $(f \circ h)(x) = f(h(x))$: donde $f$ dice $x$, va toda $h$.

2. Reemplazamos. $f(18 - 3 x) = -3(18 - 3 x) + 7$.

3. Distribuimos. $-3 \cdot (-3x) - 3 \cdot 18 + 7 = 9x - 54 + 7 = 9 x - 47$.

4. Verificamos en un punto. En la raíz de b), $h(6) = 0$, así que $(f \circ h)(6)$ tiene que dar $f(0) = 7$. Y en efecto $9 \cdot 6 - 47 = 7$.

Respuesta: $(f \circ h)(x) = 9 x - 47$

d)

1. Elegimos la rama de cada punto. $0 < 2$, así que va por $f$. $4 \geq 2$, así que va por $h$.

2. Evaluamos en cero. $t(0) = f(0) = -3 \cdot 0 + 7 = 7$.

3. Evaluamos en cuatro. $t(4) = h(4) = -3 \cdot 4 + 18 = 6$.

4. Miramos el empalme. En $x = 2$: $f(2) = 1$ y $h(2) = 12$. Son distintos, así que $t$ tiene un salto ahí.

Respuesta: $t(0) = 7$ y $t(4) = 6$

1. Ponemos la condición de la raíz. Adentro de una raíz cuadrada solo puede haber números mayores o iguales que cero: $x + 4 \geq 0$.

2. Despejamos. $x \geq -4$.

3. Escribimos el dominio. Es $[-4, +\infty)$. El extremo entra porque ahí la raíz vale $0$, que es un número perfectamente válido.

4. Chequeamos el borde. $f(-4) = \sqrt{0} - 2 = -2$.

Respuesta: dominio $[-4, +\infty)$

b)

1. Miramos qué valores toma la raíz. $\sqrt{x + 4}$ arranca en $0$ y crece sin techo, así que toma todos los valores mayores o iguales que cero.

2. Restamos el dos. Al restarle $2$, el conjunto de valores se corre dos unidades hacia abajo: arranca en $-2$ y crece sin techo.

3. Escribimos la imagen. Es $[-2, +\infty)$, y el mínimo $-2$ se alcanza en $x = -4$, el borde del dominio de a).

Respuesta: imagen $[-2, +\infty)$, con mínimo $y = -2$

c)

1. Escribimos la ecuación. $y = \sqrt{x + 4} - 2$.

2. Despejamos la raíz. $y + 2 = \sqrt{x + 4}$.

3. Elevamos al cuadrado. $(y + 2)^{2} = x + 4$, así que $x = (y + 2)^{2} - 4 = x^{2} + 4 x$.

4. Intercambiamos y ponemos el dominio. $f^{-1}(x) = x^{2} + 4 x$, con dominio $[-2, +\infty)$, que es la imagen de b). La restricción es imprescindible: sin ella la parábola no sería inyectiva.

Respuesta: $f^{-1}(x) = x^{2} + 4 x$, con dominio $[-2, +\infty)$

d)

1. Interpretamos la transformación. El signo menos adelante refleja el gráfico respecto del eje $x$: lo que estaba arriba pasa abajo y al revés.

2. Escribimos $g$. $g(x) = -\sqrt{x + 4} + 2$.

3. Damos vuelta la imagen. La imagen de $f$ era $[-2, +\infty)$. Al reflejar, cada valor cambia de signo, así que el mínimo $-2$ pasa a ser el máximo $2$.

4. Escribimos la imagen. Es $(-\infty, 2]$, y el máximo se sigue alcanzando en $x = -4$, porque reflejar en vertical no mueve el dominio.

Respuesta: $g(x) = -\sqrt{x + 4} + 2$, con imagen $(-\infty, 2]$

1. Anulamos el denominador. $x - 3 = 0$ da $x = 3$, que queda afuera del dominio.

2. Escribimos el dominio. $\mathbb{R} - \{3\}$.

3. Asíntota vertical. En $x = 3$ el numerador vale $4$ y el denominador $0$, así que hay asíntota vertical en $x = 3$.

4. Asíntota horizontal. Los grados coinciden, así que la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales: $y = 1$.

Respuesta: dominio $\mathbb{R} - \{3\}$; asíntota vertical $x = 3$ y asíntota horizontal $y = 1$

b)

1. Escribimos qué significa. $(g \circ f)(x) = g(f(x))$: la salida de $f$ entra en $g$.

2. Reemplazamos. $g\left(\dfrac{x + 1}{x - 3}\right) = \ln\left(\dfrac{x + 1}{x - 3}\right)$.

3. Avisamos lo que viene. El orden importa: $(f \circ g)(x)$ sería $\dfrac{\ln(x) + 1}{\ln(x) - 3}$, que es otra función.

Respuesta: $(g \circ f)(x) = \ln\left(\dfrac{x + 1}{x - 3}\right)$

c)

1. Ponemos la condición del logaritmo. El argumento tiene que ser estrictamente positivo: $\dfrac{x + 1}{x - 3} > 0$.

2. Buscamos dónde cambia de signo. El numerador se anula en $x = -1$ y el denominador en $x = 3$.

3. Probamos un valor de cada tramo. En $x = -2$ da $\dfrac{-1}{-5} > 0$. En $x = 0$ da $\dfrac{1}{-3} < 0$. En $x = 4$ da $\dfrac{5}{1} > 0$.

4. Escribimos el dominio. Los dos extremos quedan afuera: en $x = -1$ el argumento vale $0$ y el logaritmo de cero no existe, y en $x = 3$ ni siquiera existe $f$.

Respuesta: dominio $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$

d)

1. Sacamos el logaritmo. El logaritmo es inyectivo, así que de $\ln\left(\dfrac{x + 1}{x - 3}\right) = \ln(3)$ sale $\dfrac{x + 1}{x - 3} = 3$.

2. Pasamos multiplicando. $x + 1 = 3(x - 3) = 3x - 9$, o sea $10 = 2x$.

3. Despejamos y verificamos el dominio. $x = 5$, y $5$ está en el dominio de c) porque es mayor que $3$.

4. Vemos el otro caso. $(g \circ f)(x) = 0$ obligaría a $\dfrac{x + 1}{x - 3} = 1$, que es la asíntota horizontal de a). Eso da $x + 1 = x - 3$, y restando $x$ de los dos lados queda el número $1$ igual al número $-3$, que es falso. La función se acerca a ese valor pero no lo toca.

Respuesta: $x = 5$; y $(g \circ f)(x) = 0$ no tiene solución

1. Aplicamos la fórmula. $x_v = \dfrac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2$.

2. Calculamos la altura. $y_v = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 7 = 3$.

3. Completamos cuadrados. $f(x) = (x - 2)^{2} + 3$, que deja el vértice a la vista.

4. Explicamos la restricción. Sin restringir, la parábola toma cada valor dos veces, una a cada lado del eje $x = 2$. Quedándose con $x \geq 2$ se toma solo la rama derecha, que es creciente y por lo tanto inyectiva.

Respuesta: vértice en $x_v = 2$, $y_v = 3$

b)

1. Partimos de la forma con cuadrado completo. $y = (x - 2)^{2} + 3$.

2. Despejamos el cuadrado. $y - 3 = (x - 2)^{2}$.

3. Sacamos raíz eligiendo el signo. $x - 2 = \pm\sqrt{y - 3}$, y como $x \geq 2$ el paréntesis no es negativo: va el signo más.

4. Intercambiamos los nombres. $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x - 3}$.

Respuesta: $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x - 3}$

c)

1. Ponemos la condición de la raíz. $x - 3 \geq 0$, o sea $x \geq 3$.

2. Escribimos el dominio. Es $[3, +\infty)$.

3. Lo cruzamos con a). Coincide con la imagen de $f$ restringida, que arranca en el vértice $3$ y sube. Tiene que ser así: la inversa intercambia dominio con imagen.

Respuesta: dominio de $f^{-1}$: $[3, +\infty)$

d)

1. Elegimos la rama de cada punto. $1 < 3$, así que va por la rama constante. $7 \geq 3$, así que va por la inversa.

2. Evaluamos en uno. $t(1) = 2$.

3. Evaluamos en siete. $t(7) = 2 + \sqrt{7 - 3} = 2 + \sqrt{4} = 4$.

4. Miramos el empalme. En $x = 3$ la inversa vale $2 + \sqrt{0} = 2$, que es exactamente el valor de la rama constante. Así que $t$ no salta: se pega sin corte.

Respuesta: $t(1) = 2$ y $t(7) = 4$

1. Ponemos la condición del primero. $\log_{2}(x)$ pide $x > 0$.

2. Ponemos la del segundo. $\log_{2}(x - 2)$ pide $x - 2 > 0$, o sea $x > 2$.

3. Nos quedamos con la más exigente. Las dos tienen que cumplirse a la vez, y $x > 2$ ya implica $x > 0$.

4. Escribimos la condición. La ecuación solo tiene sentido para $x > 2$.

Respuesta: los dos logaritmos existen solo si $x > 2$

b)

1. Juntamos los dos logaritmos. La suma de logaritmos de la misma base es el logaritmo del producto: $\log_{2}(x(x - 2)) = 3$.

2. Pasamos a forma exponencial. $x(x - 2) = 2^{3} = 8$.

3. Armamos la cuadrática. $x^{2} - 2x = 8$, o sea $x^{2} - 2 x - 8 = 0$.

4. Factorizamos. $(x - 4)(x + 2) = 0$, así que las candidatas son $x = 4$ y $x = -2$.

Respuesta: candidatas $x = -2$ y $x = 4$

c)

1. Reemplazamos en el producto. Con $x = 4$: $x(x - 2) = 4 \cdot 2 = 8$.

2. Chequeamos la potencia. $\log_{2}(8) = 3$ porque $2^{3} = 8$, que es lo que pedía la ecuación.

3. Lo vemos término a término. $\log_{2}(4) = 2$ y $\log_{2}(2) = 1$, y $2 + 1 = 3$.

4. Concluimos. $x = 4$ verifica la ecuación original.

Respuesta: $x = 4$ verifica: $\log_{2}(4) + \log_{2}(2) = 2 + 1 = 3$

d)

1. Comparamos con la condición de a). Hacía falta $x > 2$. La candidata $4$ la cumple; la candidata $-2$ no.