Estiramientos y reflexiones

Además de correr un gráfico se lo puede estirar, comprimir o dar vuelta. Como en los desplazamientos, lo que decide el efecto es si el número actúa adentro o afuera de la función.

Multiplicar afuera cambia la escala vertical. Un factor mayor que uno estira el gráfico hacia arriba y hacia abajo, alejándolo del eje horizontal; un factor entre cero y uno lo aplasta contra ese eje.

Multiplicar adentro cambia la escala horizontal, y otra vez el efecto es el inverso del que sugiere el número. Un factor mayor que uno comprime el gráfico hacia el eje vertical, y uno menor que uno lo estira.

El signo negativo produce una reflexión. Afuera da vuelta el gráfico respecto del eje horizontal, cambiando el signo de todas las alturas. Adentro lo refleja respecto del eje vertical, intercambiando lo que estaba a la izquierda con lo que estaba a la derecha.

Cuando hay varias transformaciones juntas el orden importa. Conviene resolver primero lo que afecta a la variable, o sea todo lo que pasa adentro, y después lo que afecta al resultado. Aplicarlas en otro orden puede dar un gráfico distinto.

-f(x)

espeja en el eje x ·

f(-x)

espeja en el eje y

Cuándo se usa

Cuando la fórmula tiene un factor multiplicando a la función o a la variable, o un signo menos en alguno de esos lugares. Si hay varias transformaciones a la vez, resolvé primero las de adentro y después las de afuera.

Ejemplo 1

Describir cómo se obtiene $y = -2x^{2}$ a partir de $y = x^{2}$ .

Separamos las transformaciones. Hay un factor $2$ y un signo menos, los dos afuera.
Analizamos el factor. Multiplicar por dos estira el gráfico en vertical: cada altura se duplica.
Analizamos el signo. El menos espeja respecto del eje horizontal.
Combinamos. Queda una parábola más angosta y abierta hacia abajo.
Respuesta: una parábola estirada al doble y espejada hacia abajo

Ejemplo 2

Hallar el dominio de $y = \sqrt{-x}$ .

Reconocemos la transformación. Es $f(-x)$ con $f(x) = \sqrt{x}$ : un espejo en el eje vertical.
Recordamos el dominio original. $\sqrt{x}$ existe para $x \geq 0$ .
Aplicamos el espejo al dominio. Si el gráfico se espeja, el dominio también: pasa a ser $x \leq 0$ .
Verificamos con la condición. $-x \geq 0$ equivale a $x \leq 0$ . Coincide.
Respuesta: el dominio es $(-\infty, 0]$

Error típico

Confundir $-f(x)$ con $f(-x)$ . La posición del menos cambia todo: afuera espeja arriba y abajo, adentro espeja izquierda y derecha.

Practicar

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Otros subtemas de Funciones

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