Ejercicios: Estiramientos y reflexiones

2. Decidimos el efecto. Un factor mayor que uno estira el gráfico en vertical: cada altura se multiplica por $2$ y la curva se aleja del eje horizontal.

3. Controlamos con un punto. En $x = 1$, la original vale $1$ y la nueva vale $2$.

4. Miramos qué no cambió. Las raíces quedan en el mismo lugar: multiplicar por un número no mueve los ceros, porque cero por cualquier cosa sigue siendo cero.

Respuesta: es la misma parábola estirada $2$ veces en vertical, y vale $2$ en $x = 1$

2. Calculamos $f(-x)$. Reemplazamos la variable por su opuesta: $f(-x) = 3(-x)^{3} + 2(-x)^{2} + 4 = - 3 x^{3} + 2 x^{2} + 4$.

3. Comparamos las dos. En $x = 1$ la primera da $-9$ y la segunda $3$, así que son funciones distintas.

4. Interpretamos geométricamente. El menos afuera espeja el gráfico respecto del eje $x$, y el menos adentro lo espeja respecto del eje $y$. La posición del signo cambia todo.

Respuesta: $-f(x) = - 3 x^{3} - 2 x^{2} - 4$ y $f(-x) = - 3 x^{3} + 2 x^{2} + 4$: son distintas

2. Recordamos el dominio original. $\sqrt{x}$ existe para $x \geq 0$.

3. Aplicamos la reflexión al dominio. Si el gráfico se espeja de izquierda a derecha, el dominio también: pasa a $x \leq 0$.

4. Verificamos con la condición. $-x \geq 0$ equivale a $x \leq 0$. Coincide, y la imagen no cambia: sigue siendo $[0, +\infty)$, porque la reflexión fue horizontal.

Respuesta: el dominio es $(-\infty, 0]$, espejado del original

2. Empezamos por lo que afecta a la variable. El corrimiento horizontal mueve el gráfico $2$ unidades hacia la derecha.

3. Seguimos con el factor y el signo. El $3$ estira las alturas $3$ veces y el menos espeja respecto del eje horizontal, así que la parábola pasa a abrir hacia abajo.

4. Terminamos con el corrimiento vertical. El $-4$ sube o baja todo el gráfico al final. Si se aplicara antes del estiramiento el resultado sería otro, porque el factor también multiplicaría a ese número.

Respuesta: corrimiento horizontal, estiramiento por $3$, reflexión en el eje $x$ y corrimiento vertical; el vértice queda en $(2, -4)$

2. Decidimos el efecto. Es un factor entre cero y uno, así que en vez de estirar aplasta el gráfico contra el eje horizontal.

3. Controlamos con un punto. En $x = 5$ la original vale $25$ y la nueva vale $5$.

4. Comparamos con el otro caso. Multiplicar por $5$ afuera estira y multiplicar por $\dfrac{1}{5}$ achata: lo que decide es si el factor es mayor o menor que uno.

Respuesta: la parábola se achata: cada altura queda dividida por $5$

2. Calculamos $f(-x)$. Reemplazamos la variable por su opuesta: $f(-x) = 1(-x)^{3} + 5(-x)^{2} + 2 = - x^{3} + 5 x^{2} + 2$.

3. Comparamos las dos. En $x = 1$ la primera da $-8$ y la segunda $6$, así que son funciones distintas.

4. Interpretamos geométricamente. El menos afuera espeja el gráfico respecto del eje $x$, y el menos adentro lo espeja respecto del eje $y$. La posición del signo cambia todo.

Respuesta: $-f(x) = - x^{3} - 5 x^{2} - 2$ y $f(-x) = - x^{3} + 5 x^{2} + 2$: son distintas

2. Planteamos la condición. Para que $g(x)$ exista, lo que entra a $f$ tiene que estar en su dominio: $0 \leq 2x \leq 4$.

3. Despejamos. Dividimos todo por $2$: $0 \leq x \leq 2$.

4. Interpretamos. El dominio se comprimió $2$ veces, que es el efecto horizontal del factor de adentro. La imagen, en cambio, no cambia.

Respuesta: el dominio de $g$ es $[0, 2]$

2. Empezamos por lo que afecta a la variable. El corrimiento horizontal mueve el gráfico $1$ unidades hacia la izquierda.

3. Seguimos con el factor y el signo. El $4$ estira las alturas $4$ veces y el menos espeja respecto del eje horizontal, así que la parábola pasa a abrir hacia abajo.

4. Terminamos con el corrimiento vertical. El $2$ sube o baja todo el gráfico al final. Si se aplicara antes del estiramiento el resultado sería otro, porque el factor también multiplicaría a ese número.

Respuesta: corrimiento horizontal, estiramiento por $4$, reflexión en el eje $x$ y corrimiento vertical; el vértice queda en $(-1, 2)$

2. Decidimos el efecto. Adentro, el efecto es el inverso del que sugiere el número: un factor mayor que uno comprime el gráfico hacia el eje vertical.

3. Calculamos el período. El original era $2\pi$ y ahora es $\dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}$: entran $6$ ondas donde antes entraba una.

4. Miramos qué no cambió. La amplitud sigue siendo $1$: el número de adentro no toca las alturas.

Respuesta: se comprime $6$ veces en horizontal, con período $\dfrac{\pi}{3}$

2. Calculamos $f(-x)$. Reemplazamos la variable por su opuesta: $f(-x) = 4(-x)^{3} + 1(-x)^{2} + 5 = - 4 x^{3} + x^{2} + 5$.

3. Comparamos las dos. En $x = 1$ la primera da $-10$ y la segunda $2$, así que son funciones distintas.

4. Interpretamos geométricamente. El menos afuera espeja el gráfico respecto del eje $x$, y el menos adentro lo espeja respecto del eje $y$. La posición del signo cambia todo.

Respuesta: $-f(x) = - 4 x^{3} - x^{2} - 5$ y $f(-x) = - 4 x^{3} + x^{2} + 5$: son distintas

2. Escribimos el dominio. No cambia: sigue siendo $[0, 6]$, porque las entradas admisibles son las mismas.

3. Escribimos la imagen. Cada altura se multiplica por $6$, así que $[0, 1]$ pasa a $[0, 6]$.

4. Chequeamos la regla general. Un cambio vertical afecta la imagen y no el dominio. Con uno horizontal pasa al revés.

Respuesta: dominio $[0, 6]$ e imagen $[0, 6]$

2. Empezamos por lo que afecta a la variable. El corrimiento horizontal mueve el gráfico $3$ unidades hacia la izquierda.

3. Seguimos con el factor y el signo. El $5$ estira las alturas $5$ veces y el menos espeja respecto del eje horizontal, así que la parábola pasa a abrir hacia abajo.

4. Terminamos con el corrimiento vertical. El $1$ sube o baja todo el gráfico al final. Si se aplicara antes del estiramiento el resultado sería otro, porque el factor también multiplicaría a ese número.

Respuesta: corrimiento horizontal, estiramiento por $5$, reflexión en el eje $x$ y corrimiento vertical; el vértice queda en $(-3, 1)$