Función racional

Una función racional es un cociente de dos polinomios. Toda su particularidad viene del denominador: donde se anula, la función no existe, y ahí es donde pasan las cosas interesantes.

El dominio excluye las raíces del denominador. En cada uno de esos puntos puede pasar una de dos cosas. Si el numerador no se anula ahí, la función se dispara y hay una asíntota vertical. Si el numerador también se anula, el factor común se simplifica y queda un agujero en el gráfico, no una asíntota.

Esa distinción es la que más se equivoca, y se resuelve siempre igual: factorizar numerador y denominador antes de sacar cualquier conclusión.

En el infinito el comportamiento lo deciden los grados. Si el de abajo es mayor, la función tiende a cero y la asíntota horizontal es el eje. Si son iguales, la asíntota es el cociente de los coeficientes principales. Si el de arriba es exactamente uno más, no hay horizontal sino una asíntota oblicua.

Nada impide que la curva cruce su asíntota horizontal. La asíntota describe hacia dónde va la función lejos del origen, no una barrera que no se pueda atravesar.

f(x) = P(x) / Q(x)

con

Q(x) \neq 0

Cuándo se usa

Cuando hay una fracción con la variable en el denominador. El primer paso es siempre factorizar arriba y abajo: eso decide el dominio, distingue asíntotas de agujeros y simplifica todo lo que venga después.

Ejemplo 1

Hallar el dominio y las asíntotas de $f(x) = 1/(x + 4)$ .

Buscamos dónde se anula el denominador. $x + 4 = 0$ da $x = -4$ .
Escribimos el dominio. $\mathbb{R} - {-4}$ .
Identificamos la asíntota vertical. Es la recta $x = -4$ , el valor excluido.
Comparamos los grados para la horizontal. Arriba grado $0$ , abajo grado $1$ : arriba es menor, así que la horizontal es $y = 0$ .
Respuesta: dominio $\mathbb{R} - {-4}$ , asíntotas $x = -4$ y $y = 0$

Ejemplo 2

Hallar las asíntotas de $f(x) = (2x + 1)/(x - 3)$ .

Buscamos la vertical. $x - 3 = 0$ da $x = 3$ .
Comparamos los grados. Arriba grado $1$ y abajo grado $1$ : son iguales.
Aplicamos la regla del cociente de coeficientes. El principal de arriba es $2$ y el de abajo $1$ .
Escribimos la horizontal. $y = 2/1 = 2$ .
Respuesta: asíntota vertical $x = 3$ y horizontal $y = 2$

Error típico

Dibujar la curva tocando la asíntota vertical. La función no existe ahí: se acerca infinitamente pero nunca llega. La horizontal, en cambio, sí puede cruzarse en la zona del medio.

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Otros subtemas de Funciones

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