Desplazamientos

Conociendo el gráfico de una función se pueden obtener muchos otros sin volver a estudiar nada, simplemente moviendo el dibujo. Un desplazamiento no deforma la curva: la corre entera.

Sumar un número afuera de la función mueve el gráfico en vertical. Si el número es positivo sube y si es negativo baja, que es lo intuitivo.

Sumar un número adentro, junto a la variable, mueve el gráfico en horizontal, pero al revés de lo que uno esperaría: sumar corre hacia la izquierda y restar hacia la derecha. Ese comportamiento invertido es lo que más se equivoca del tema.

La razón se entiende pensando qué valor de entrada produce el mismo resultado. Si adentro se suma dos, para obtener lo que antes daba el cero ahora hay que entrar con menos dos: todo el gráfico se corrió hacia los negativos.

Los desplazamientos verticales cambian la imagen pero no el dominio, y los horizontales al revés. Eso da una forma rápida de chequear si el corrimiento se aplicó bien: si el dominio cambió cuando debía cambiar la imagen, hay un error.

f(x) + k

sube k ·

f(x + k)

va k a la izquierda

Cuándo se usa

Cuando la fórmula es una función conocida con un número sumado adentro o afuera, y piden graficarla o dar su dominio e imagen. Regla rápida: afuera es vertical y va como se espera, adentro es horizontal y va al revés.

Ejemplo 1

Describir cómo se obtiene el gráfico de $y = (x - 3)^{2} + 1$ a partir del de $y = x^{2}$ .

Separamos las dos transformaciones. Hay un $-3$ adentro y un $+1$ afuera.
Analizamos la de adentro. Restar tres adentro corre el gráfico tres unidades a la derecha.
Analizamos la de afuera. Sumar uno afuera lo sube una unidad.
Combinamos. El vértice pasa del origen a $(3, 1)$ .
Respuesta: es la misma parábola con vértice en $(3, 1)$

Ejemplo 2

Hallar la fórmula de la parábola $y = x^{2}$ corrida cuatro unidades a la izquierda y dos hacia abajo.

Escribimos el movimiento horizontal. Izquierda cuatro significa sumar cuatro adentro: $(x + 4)^{2}$ .
Escribimos el vertical. Abajo dos significa restar dos afuera.
Combinamos. $y = (x + 4)^{2} - 2$
Verificamos con el vértice. El vértice original estaba en $(0, 0)$ y ahora está en $(-4, -2)$ . Correcto.
Respuesta: $y = (x + 4)^{2} - 2$

Error típico

Correr $f(x + 2)$ hacia la derecha. Va hacia la izquierda. Si dudás, verificá con un punto: en $x = -2$ la nueva función vale lo que la original valía en el cero.

Practicar

← Funciones trigonométricas Estiramientos y reflexiones →

Otros subtemas de Funciones

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .