Método

Ejercicios: Composición de funciones

(f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f( g(x) )

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Dadas f(x)=4x+5f(x) = 4 x + 5 y g(x)=x2+2g(x) = x^{2} + 2, hallá f∘gf \circ g y g∘fg \circ f, y mostrá que son distintas evaluando en x=1x = 1.

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1. Armamos la primera composición. (f∘g)(x)=f(g(x))=f(x2+2)(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^{2} + 2). Donde ff dice xx, ponemos x2+2x^{2} + 2: queda 4x2+134 x^{2} + 13.

2. Armamos la segunda. (g∘f)(x)=g(f(x))=g(4x+5)=(4x+5)2+2=16x2+40x+27(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(4 x + 5) = (4 x + 5)^{2} + 2 = 16 x^{2} + 40 x + 27.

3. Evaluamos las dos en el punto pedido. (f∘g)(1)=17(f \circ g)(1) = 17 y (g∘f)(1)=83(g \circ f)(1) = 83.

4. Concluimos. Los resultados difieren, así que componer no es conmutativo. La que actúa primero es siempre la de la derecha.

Respuesta: f∘g=4x2+13f \circ g = 4 x^{2} + 13 y g∘f=16x2+40x+27g \circ f = 16 x^{2} + 40 x + 27, distintas ya en x=1x = 1

2. Sean f(x)=5x+1f(x) = 5 x + 1, g(x)=x2+2g(x) = x^{2} + 2 y h(x)=x−1h(x) = x - 1. Calculá f(g(h(2)))f(g(h(2))).

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1. Identificamos el orden. Se resuelve de adentro hacia afuera: primero hh, después gg y al final ff.

2. Aplicamos la de más adentro. h(2)=1h(2) = 1

3. Ese resultado entra en gg. g(1)=(1)2+2=3g(1) = (1)^{2} + 2 = 3

4. Y ese entra en ff. f(3)=5(3)+1=16f(3) = 5 (3) + 1 = 16

Respuesta: f(g(h(2)))=16f(g(h(2))) = 16

3. Escribí h(x)=5x+3h(x) = \sqrt{5 x + 3} como una composición f(g(x))f(g(x)) de dos funciones más simples.

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1. Miramos qué se hace primero al entrar un número. Primero se calcula 5x+35 x + 3, y recién después se le toma la raíz.

2. La primera operación es la de adentro. g(x)=5x+3g(x) = 5 x + 3

3. La segunda es la de afuera. f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

4. Verificamos la composición. f(g(x))=f(5x+3)=5x+3f(g(x)) = f(5 x + 3) = \sqrt{5 x + 3}, que es h(x)h(x). Reconocer esta descomposición es el paso previo a derivar con la regla de la cadena.

Respuesta: g(x)=5x+3g(x) = 5 x + 3 y f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

4. Sean f(x)=xf(x) = \sqrt{x} y g(x)=x−4g(x) = x - 4. Hallá el dominio de f∘gf \circ g.

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1. Escribimos la composición. (f∘g)(x)=f(x−4)=x−4(f \circ g)(x) = f(x - 4) = \sqrt{x - 4}

2. Pedimos que la entrada esté en el dominio de gg. gg es una recta, así que acepta cualquier real: esta condición no restringe nada.

3. Pedimos que la salida de gg caiga en el dominio de ff. ff solo acepta valores mayores o iguales que cero, así que x−4≥0x - 4 \geq 0, o sea x≥4x \geq 4.

4. Escribimos el resultado. El dominio de la composición es más chico que el de cada función por separado: gg existía en todo R\mathbb{R} y la composición no.

Respuesta: el dominio es [4,+∞)[4, +\infty)

5. Dadas f(x)=3x−2f(x) = 3 x - 2 y g(x)=x2+1g(x) = x^{2} + 1, hallá f∘gf \circ g y g∘fg \circ f, y mostrá que son distintas evaluando en x=1x = 1.

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1. Armamos la primera composición. (f∘g)(x)=f(g(x))=f(x2+1)(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^{2} + 1). Donde ff dice xx, ponemos x2+1x^{2} + 1: queda 3x2+13 x^{2} + 1.

2. Armamos la segunda. (g∘f)(x)=g(f(x))=g(3x−2)=(3x−2)2+1=9x2−12x+5(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(3 x - 2) = (3 x - 2)^{2} + 1 = 9 x^{2} - 12 x + 5.

3. Evaluamos las dos en el punto pedido. (f∘g)(1)=4(f \circ g)(1) = 4 y (g∘f)(1)=2(g \circ f)(1) = 2.

4. Concluimos. Los resultados difieren, así que componer no es conmutativo. La que actúa primero es siempre la de la derecha.

Respuesta: f∘g=3x2+1f \circ g = 3 x^{2} + 1 y g∘f=9x2−12x+5g \circ f = 9 x^{2} - 12 x + 5, distintas ya en x=1x = 1

6. Sean f(x)=3x+2f(x) = 3 x + 2, g(x)=x2+1g(x) = x^{2} + 1 y h(x)=x−1h(x) = x - 1. Calculá f(g(h(3)))f(g(h(3))).

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1. Identificamos el orden. Se resuelve de adentro hacia afuera: primero hh, después gg y al final ff.

2. Aplicamos la de más adentro. h(3)=2h(3) = 2

3. Ese resultado entra en gg. g(2)=(2)2+1=5g(2) = (2)^{2} + 1 = 5

4. Y ese entra en ff. f(5)=3(5)+2=17f(5) = 3 (5) + 2 = 17

Respuesta: f(g(h(3)))=17f(g(h(3))) = 17

7. Escribí h(x)=3x+5h(x) = \sqrt{3 x + 5} como una composición f(g(x))f(g(x)) de dos funciones más simples.

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1. Miramos qué se hace primero al entrar un número. Primero se calcula 3x+53 x + 5, y recién después se le toma la raíz.

2. La primera operación es la de adentro. g(x)=3x+5g(x) = 3 x + 5

3. La segunda es la de afuera. f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

4. Verificamos la composición. f(g(x))=f(3x+5)=3x+5f(g(x)) = f(3 x + 5) = \sqrt{3 x + 5}, que es h(x)h(x). Reconocer esta descomposición es el paso previo a derivar con la regla de la cadena.

Respuesta: g(x)=3x+5g(x) = 3 x + 5 y f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

8. Sean f(x)=xf(x) = \sqrt{x} y g(x)=x−7g(x) = x - 7. Hallá el dominio de f∘gf \circ g.

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1. Escribimos la composición. (f∘g)(x)=f(x−7)=x−7(f \circ g)(x) = f(x - 7) = \sqrt{x - 7}

2. Pedimos que la entrada esté en el dominio de gg. gg es una recta, así que acepta cualquier real: esta condición no restringe nada.

3. Pedimos que la salida de gg caiga en el dominio de ff. ff solo acepta valores mayores o iguales que cero, así que x−7≥0x - 7 \geq 0, o sea x≥7x \geq 7.

4. Escribimos el resultado. El dominio de la composición es más chico que el de cada función por separado: gg existía en todo R\mathbb{R} y la composición no.

Respuesta: el dominio es [7,+∞)[7, +\infty)

9. Dadas f(x)=5x−1f(x) = 5 x - 1 y g(x)=x2+4g(x) = x^{2} + 4, hallá f∘gf \circ g y g∘fg \circ f, y mostrá que son distintas evaluando en x=1x = 1.

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1. Armamos la primera composición. (f∘g)(x)=f(g(x))=f(x2+4)(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^{2} + 4). Donde ff dice xx, ponemos x2+4x^{2} + 4: queda 5x2+195 x^{2} + 19.

2. Armamos la segunda. (g∘f)(x)=g(f(x))=g(5x−1)=(5x−1)2+4=25x2−10x+5(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(5 x - 1) = (5 x - 1)^{2} + 4 = 25 x^{2} - 10 x + 5.

3. Evaluamos las dos en el punto pedido. (f∘g)(1)=24(f \circ g)(1) = 24 y (g∘f)(1)=20(g \circ f)(1) = 20.

4. Concluimos. Los resultados difieren, así que componer no es conmutativo. La que actúa primero es siempre la de la derecha.

Respuesta: f∘g=5x2+19f \circ g = 5 x^{2} + 19 y g∘f=25x2−10x+5g \circ f = 25 x^{2} - 10 x + 5, distintas ya en x=1x = 1

10. Sean f(x)=4x+2f(x) = 4 x + 2, g(x)=x2−3g(x) = x^{2} - 3 y h(x)=x−1h(x) = x - 1. Calculá f(g(h(1)))f(g(h(1))).

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1. Identificamos el orden. Se resuelve de adentro hacia afuera: primero hh, después gg y al final ff.

2. Aplicamos la de más adentro. h(1)=0h(1) = 0

3. Ese resultado entra en gg. g(0)=(0)2−3=−3g(0) = (0)^{2} - 3 = -3

4. Y ese entra en ff. f(−3)=4(−3)+2=−10f(-3) = 4 (-3) + 2 = -10

Respuesta: f(g(h(1)))=−10f(g(h(1))) = -10

11. Escribí h(x)=4x+1h(x) = \sqrt{4 x + 1} como una composición f(g(x))f(g(x)) de dos funciones más simples.

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1. Miramos qué se hace primero al entrar un número. Primero se calcula 4x+14 x + 1, y recién después se le toma la raíz.

2. La primera operación es la de adentro. g(x)=4x+1g(x) = 4 x + 1

3. La segunda es la de afuera. f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

4. Verificamos la composición. f(g(x))=f(4x+1)=4x+1f(g(x)) = f(4 x + 1) = \sqrt{4 x + 1}, que es h(x)h(x). Reconocer esta descomposición es el paso previo a derivar con la regla de la cadena.

Respuesta: g(x)=4x+1g(x) = 4 x + 1 y f(x)=xf(x) = \sqrt{x}

12. Sean f(x)=xf(x) = \sqrt{x} y g(x)=x−5g(x) = x - 5. Hallá el dominio de f∘gf \circ g.

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1. Escribimos la composición. (f∘g)(x)=f(x−5)=x−5(f \circ g)(x) = f(x - 5) = \sqrt{x - 5}

2. Pedimos que la entrada esté en el dominio de gg. gg es una recta, así que acepta cualquier real: esta condición no restringe nada.

3. Pedimos que la salida de gg caiga en el dominio de ff. ff solo acepta valores mayores o iguales que cero, así que x−5≥0x - 5 \geq 0, o sea x≥5x \geq 5.

4. Escribimos el resultado. El dominio de la composición es más chico que el de cada función por separado: gg existía en todo R\mathbb{R} y la composición no.

Respuesta: el dominio es [5,+∞)[5, +\infty)

Integradores de Funciones: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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