Qué es un límite

El límite describe a qué valor se acerca una función cuando la variable se acerca a un punto. La clave está en la palabra acerca: no interesa cuánto vale la función en ese punto, sino hacia dónde apunta al aproximarse.

Por eso el límite puede existir en lugares donde la función ni siquiera está definida. Si los valores se van amontonando alrededor de un número a medida que uno se acerca, ese número es el límite, aunque justo ahí haya un agujero.

También puede pasar al revés: que la función esté definida en el punto pero valga algo distinto de lo que anuncian los valores cercanos. Ahí el límite existe igual y no coincide con el valor de la función.

Cuando la función es de las conocidas y no tiene ningún problema en el punto, el límite se calcula reemplazando. Ese es el caso fácil y es el más común. Los ejercicios interesantes aparecen justo cuando reemplazar no se puede.

\lim_{x \to a} f(x) = L

Cuándo se usa

Casi siempre se arranca reemplazando el punto en la función. Si sale un número, ese es el límite y terminaste. Si sale algo raro como cero sobre cero o infinito sobre infinito, hay indeterminación y recién ahí empieza el trabajo.

Ejemplo 1

Calcular el límite de $f(x) = 2x + 1$ cuando $x$ tiende a $3$ .

Probamos reemplazar directamente. La función es una recta y existe en todos lados.
Evaluamos. $2 \cdot 3 + 1 = 7$
Verificamos con valores cercanos. En $2{,}9$ da $6{,}8$ ; en $3{,}1$ da $7{,}2$ .
Concluimos. Los valores se acercan a $7$ por los dos lados.
Respuesta: el límite vale $7$

Ejemplo 2

Calcular el límite de $(x^{2} - 4)/(x - 2)$ cuando $x$ tiende a $2$ .

Probamos reemplazar. Da $0/0$ : no dice nada, hay que trabajarlo.
Factorizamos el numerador. $x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)$
Simplificamos. Como $x$ se acerca a $2$ pero no vale $2$ , el factor $x - 2$ no es cero y se puede cancelar. Queda $x + 2$ .
Reemplazamos en lo que quedó. $2 + 2 = 4$
Respuesta: el límite vale $4$ , aunque la función no exista en $x = 2$

Error típico

Calcular un límite reemplazando siempre y contestar que no existe cuando da $0/0$ . Que la función no exista en el punto no significa que el límite no exista: son cosas distintas.

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .