Factorizar para salvarla

Cuando la indeterminación de cero sobre cero aparece en un cociente de polinomios, la solución es factorizar. Si los dos se anulan en el mismo punto, los dos tienen ese punto como raíz, y por lo tanto comparten un factor.

Ese factor es el que hay que hacer aparecer y después simplificar. Al cancelarlo desaparece la indeterminación y la expresión que queda se evalúa reemplazando.

Las herramientas para factorizar son las de siempre. Diferencia de cuadrados cuando hay una resta de dos términos elevados al cuadrado. La fórmula resolvente para cuadráticas. Ruffini cuando el grado es tres o más y ya se conoce una raíz, que en estos ejercicios siempre se conoce, porque es justamente el punto donde se calcula el límite.

A veces hay que factorizar solo uno de los dos, si el otro ya viene factorizado o es directamente el factor común.

si a anula el polinomio,

(x - a)

es factor

Cuándo se usa

Cuando hay cero sobre cero y arriba y abajo hay polinomios. El punto donde se calcula el límite es siempre raíz de los dos, así que ya sabés qué factor buscar antes de empezar a factorizar.

Ejemplo 1

Calcular el límite de $(x^{2} - 9)/(x - 3)$ cuando $x$ tiende a $3$ .

Verificamos que sea $0/0$ . Arriba $9 - 9 = 0$ y abajo $0$ .
Reconocemos la forma del numerador. Es una diferencia de cuadrados: $(x - 3)(x + 3)$ .
Cancelamos el factor común. $x + 3$
Reemplazamos. $3 + 3 = 6$
Respuesta: el límite vale $6$

Ejemplo 2

Calcular el límite de $(x^{2} - 5x + 6)/(x - 2)$ cuando $x$ tiende a $2$ .

Verificamos que sea $0/0$ . Arriba $4 - 10 + 6 = 0$ y abajo $0$ .
Buscamos las raíces del numerador con la resolvente. El discriminante es $25 - 24 = 1$ , y las raíces son $3$ y $2$ .
Escribimos el numerador factorizado. $(x - 2)(x - 3)$
Cancelamos y reemplazamos. $x - 3$ , que en $x = 2$ vale $-1$ .
Respuesta: el límite vale $-1$

Error típico

Cancelar y después decir que la función es la recta simplificada. Son iguales salvo en el punto: la original tiene un hueco ahí y la simplificada no.

Practicar

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