La indeterminación infinito sobre infinito

Cuando el numerador y el denominador se van los dos al infinito, el cociente queda indeterminado. Es una pelea entre dos cantidades que crecen, y gana el que crece más rápido.

En cocientes de polinomios el resultado sale de comparar los grados y hay tres casos. Si el de arriba es mayor, el numerador crece más rápido y el límite es infinito. Si el de abajo es mayor, gana el denominador y el límite es cero. Si son iguales, empatan y el límite es el cociente de los coeficientes principales.

La técnica para justificarlo es dividir todo por la potencia más alta que aparezca. Con eso cada término queda o como una constante o como algo con la variable en el denominador, que tiende a cero, y el resultado sale solo.

Cuando hay raíces hay que tener cuidado con el grado. Una raíz cuadrada de un polinomio de grado cuatro se comporta como grado dos, porque la raíz divide el exponente a la mitad.

se divide por la potencia más alta de abajo

Cuándo se usa

Cuando arriba y abajo se van los dos al infinito. Compará los grados: gana el mayor. Si empatan, el límite es el cociente de los coeficientes principales. Con raíces, dividí el grado por el índice antes de comparar.

Ejemplo 1

Calcular el límite de $\sqrt{x^{2} + 1}/x$ cuando $x$ tiende a $+\infty$ .

Sacamos $x^{2}$ de la raíz. $\sqrt{x^{2}(1 + 1/x^{2})} = \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{1 + 1/x^{2}}$
Reemplazamos la raíz de x cuadrado. Como $x$ es positivo, $\sqrt{x^{2}} = x$ .
Armamos la fracción. $x \sqrt{1 + 1/x^{2}} / x = \sqrt{1 + 1/x^{2}}$
Reemplazamos. $1/x^{2}$ tiende a cero, así que queda $\sqrt{1} = 1$ .
Respuesta: el límite vale $1$

Ejemplo 2

Calcular el mismo límite pero con $x$ tendiendo a $-\infty$ .

Repetimos hasta la raíz. $\sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{1 + 1/x^{2}}$
Reemplazamos la raíz con cuidado. Ahora $x$ es negativo, así que $\sqrt{x^{2}} = -x$ .
Armamos la fracción. $-x \sqrt{1 + 1/x^{2}} / x = -\sqrt{1 + 1/x^{2}}$
Reemplazamos. $-1$
Respuesta: el límite vale $-1$ : distinto que hacia $+\infty$

Error típico

Escribir $\sqrt{x^{2}} = x$ sin condición. Vale solo si $x$ es positivo. Cuando $x$ tiende a menos infinito, $\sqrt{x^{2}} = -x$ .

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

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