Tipos de discontinuidad
Cuando falla alguna de las tres condiciones de continuidad, hay discontinuidad. Según cuál falle, se clasifica distinto, y los ejercicios casi siempre piden esa clasificación.
La discontinuidad es evitable cuando el límite existe pero no coincide con el valor de la función, o cuando la función no está definida ahí. Se llama evitable porque se arregla: alcanza con redefinir la función en ese punto asignándole el valor del límite. En el gráfico se ve como un agujero.
Es de salto cuando los dos laterales existen pero dan valores distintos. Acá no hay arreglo posible: por más que se cambie el valor en el punto, siempre va a quedar el salto. El tamaño del salto es la diferencia entre los dos laterales.
Es esencial cuando alguno de los laterales no existe, porque se va al infinito o porque oscila. Es el caso de las asíntotas verticales.
El procedimiento es siempre el mismo: calcular los dos laterales, compararlos entre sí y después comparar con el valor de la función.
Cuando el ejercicio pide clasificar una discontinuidad. Calculá los dos laterales primero: si dan lo mismo es evitable, si dan distinto es de salto, y si alguno no existe es esencial.
Clasificar la discontinuidad de en .
Verificamos que sea discontinua. no existe: el denominador se anula.
Calculamos el límite. Factorizando y cancelando queda , que tiende a .
Aplicamos el criterio. El límite existe, así que es evitable.
Indicamos cómo se arregla. Definiendo la función pasa a ser continua.
Respuesta: es evitable: se arregla con
Clasificar la discontinuidad de en .
Verificamos que sea discontinua. no existe.
Calculamos los laterales. Por derecha se dispara a y por izquierda a .
Aplicamos el criterio. Alguno de los laterales es infinito: es esencial.
Concluimos. No hay ningún valor que se pueda asignar para arreglarla.
Respuesta: es esencial: hay asíntota vertical y no tiene arreglo
Llamar evitable a un salto porque los dos laterales existen. Evitable requiere que el límite exista, o sea que los dos laterales sean el mismo número.
Otros subtemas de Límites y continuidad
- 1. Qué es un límite
- 2. Límites laterales
- 3. Cuándo el límite no existe
- 4. Propiedades y cálculo directo
- 5. Un número sobre cero
- 6. La indeterminación cero sobre cero
- 7. Factorizar para salvarla
- 8. Racionalizar para salvarla
- 9. Límites en el infinito
- 10. La indeterminación infinito sobre infinito
- 11. Asíntotas verticales
- 12. Asíntotas horizontales
- 13. El límite de sen x sobre x
- 14. El número e como límite
- 15. Qué es una función continua
- 17. Continuidad por tramos
- 18. El teorema de Bolzano
- 19. La definición formal de límite
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