Ejercicios: Tipos de discontinuidad

evitable

\cdot

de salto

\cdot

esencial

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Clasificá la discontinuidad de $f(x) = \dfrac{x^{2} - 7 x + 10}{x - 5}$ en $x = 5$ y, si se puede, arreglala.

Ver solución

1. Vemos por qué hay discontinuidad. En $x = 5$ el denominador se anula, así que la función no está definida ahí: falla la primera condición.

2. Calculamos los laterales. Factorizando, $\dfrac{(x - 5)(x - 2)}{x - 5} = x - 2$ para $x \neq 5$ , así que los dos laterales valen $3$ .

3. Clasificamos. Los laterales existen y coinciden, así que la discontinuidad es evitable: en el gráfico es un agujero.

4. La arreglamos. Alcanza con definir $f(5) = 3$ , o sea el valor del límite.

Respuesta: evitable; se arregla definiendo $f(5) = 3$

2. Sea $f(x) = x + 2$ si $x < 4$ y $f(x) = x + 7$ si $x \geq 4$ . Clasificá la discontinuidad en $x = 4$ y calculá su tamaño.

Ver solución

1. Calculamos los dos laterales. Por izquierda $6$ y por derecha $11$ .

2. Comparamos. Los dos existen y son finitos, pero distintos, así que el límite no existe.

3. Clasificamos. Es una discontinuidad de salto, y no hay forma de arreglarla cambiando el valor en el punto: el salto queda igual.

4. Calculamos el tamaño. Es la diferencia entre los laterales: $|11 - (6)| = 5$ .

Respuesta: de salto, de tamaño $5$

3. Clasificá la discontinuidad de $f(x) = \dfrac{4}{x - 3}$ en $x = 3$ .

Ver solución

1. Vemos por qué hay discontinuidad. El denominador se anula en $x = 3$ y el numerador vale $4$ : la función no está definida ahí.

2. Calculamos el lateral derecho. Denominador positivo y chiquito con numerador positivo: el límite es $+\infty$ .

3. Calculamos el lateral izquierdo. Denominador negativo y chiquito en módulo: el límite es $-\infty$ .

4. Clasificamos. Alguno de los laterales no existe como número finito, así que la discontinuidad es esencial. Es el caso de las asíntotas verticales, y no se arregla de ninguna manera.

Respuesta: esencial: hay asíntota vertical en $x = 3$

4. Sea $f(x) = x + 1$ si $x < 0$ , $f(x) = 3$ si $0 \leq x < 3$ y $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ si $x > 3$ . Clasificá la discontinuidad en cada punto de cambio.

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1. Estudiamos $x = 0$ . Por izquierda el límite es $1$ y por derecha $3$ : existen los dos y son distintos.

2. Clasificamos ese punto. Es una discontinuidad de salto, de tamaño $2$ .

3. Estudiamos $x = 3$ . Por izquierda el límite es $3$ , pero por derecha $\dfrac{1}{x - 3}$ se dispara a $+\infty$ .

4. Clasificamos ese punto. Como un lateral no existe como número finito, la discontinuidad es esencial. Además la función ni siquiera está definida en $x = 3$ .

Respuesta: en $x = 0$ es de salto y en $x = 3$ es esencial

5. Clasificá la discontinuidad de $f(x) = \dfrac{x^{2} - 4 x - 12}{x + 2}$ en $x = -2$ y, si se puede, arreglala.

Ver solución

1. Vemos por qué hay discontinuidad. En $x = -2$ el denominador se anula, así que la función no está definida ahí: falla la primera condición.

2. Calculamos los laterales. Factorizando, $\dfrac{(x + 2)(x - 6)}{x + 2} = x - 6$ para $x \neq -2$ , así que los dos laterales valen $-8$ .

3. Clasificamos. Los laterales existen y coinciden, así que la discontinuidad es evitable: en el gráfico es un agujero.

4. La arreglamos. Alcanza con definir $f(-2) = -8$ , o sea el valor del límite.

Respuesta: evitable; se arregla definiendo $f(-2) = -8$

6. Sea $f(x) = x + 1$ si $x < 2$ y $f(x) = x + 6$ si $x \geq 2$ . Clasificá la discontinuidad en $x = 2$ y calculá su tamaño.

Ver solución

1. Calculamos los dos laterales. Por izquierda $3$ y por derecha $8$ .

2. Comparamos. Los dos existen y son finitos, pero distintos, así que el límite no existe.

3. Clasificamos. Es una discontinuidad de salto, y no hay forma de arreglarla cambiando el valor en el punto: el salto queda igual.

4. Calculamos el tamaño. Es la diferencia entre los laterales: $|8 - (3)| = 5$ .

Respuesta: de salto, de tamaño $5$

7. Clasificá la discontinuidad de $f(x) = \dfrac{3}{x - 2}$ en $x = 2$ .

Ver solución

1. Vemos por qué hay discontinuidad. El denominador se anula en $x = 2$ y el numerador vale $3$ : la función no está definida ahí.

2. Calculamos el lateral derecho. Denominador positivo y chiquito con numerador positivo: el límite es $+\infty$ .

3. Calculamos el lateral izquierdo. Denominador negativo y chiquito en módulo: el límite es $-\infty$ .

4. Clasificamos. Alguno de los laterales no existe como número finito, así que la discontinuidad es esencial. Es el caso de las asíntotas verticales, y no se arregla de ninguna manera.

Respuesta: esencial: hay asíntota vertical en $x = 2$

8. Sea $f(x) = x + 1$ si $x < -1$ , $f(x) = 2$ si $-1 \leq x < 2$ y $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ si $x > 2$ . Clasificá la discontinuidad en cada punto de cambio.

Ver solución

1. Estudiamos $x = -1$ . Por izquierda el límite es $0$ y por derecha $2$ : existen los dos y son distintos.

2. Clasificamos ese punto. Es una discontinuidad de salto, de tamaño $2$ .

3. Estudiamos $x = 2$ . Por izquierda el límite es $2$ , pero por derecha $\dfrac{1}{x - 2}$ se dispara a $+\infty$ .

4. Clasificamos ese punto. Como un lateral no existe como número finito, la discontinuidad es esencial. Además la función ni siquiera está definida en $x = 2$ .

Respuesta: en $x = -1$ es de salto y en $x = 2$ es esencial

9. Clasificá la discontinuidad de $f(x) = \dfrac{x^{2} - 3 x - 4}{x + 1}$ en $x = -1$ y, si se puede, arreglala.

Ver solución

1. Vemos por qué hay discontinuidad. En $x = -1$ el denominador se anula, así que la función no está definida ahí: falla la primera condición.

2. Calculamos los laterales. Factorizando, $\dfrac{(x + 1)(x - 4)}{x + 1} = x - 4$ para $x \neq -1$ , así que los dos laterales valen $-5$ .

3. Clasificamos. Los laterales existen y coinciden, así que la discontinuidad es evitable: en el gráfico es un agujero.

4. La arreglamos. Alcanza con definir $f(-1) = -5$ , o sea el valor del límite.

Respuesta: evitable; se arregla definiendo $f(-1) = -5$

10. Sea $f(x) = x + 5$ si $x < 2$ y $f(x) = x$ si $x \geq 2$ . Clasificá la discontinuidad en $x = 2$ y calculá su tamaño.

Ver solución

1. Calculamos los dos laterales. Por izquierda $7$ y por derecha $2$ .

2. Comparamos. Los dos existen y son finitos, pero distintos, así que el límite no existe.

3. Clasificamos. Es una discontinuidad de salto, y no hay forma de arreglarla cambiando el valor en el punto: el salto queda igual.

4. Calculamos el tamaño. Es la diferencia entre los laterales: $|2 - (7)| = 5$ .

Respuesta: de salto, de tamaño $5$

11. Clasificá la discontinuidad de $f(x) = \dfrac{2}{x - 6}$ en $x = 6$ .

Ver solución

1. Vemos por qué hay discontinuidad. El denominador se anula en $x = 6$ y el numerador vale $2$ : la función no está definida ahí.

2. Calculamos el lateral derecho. Denominador positivo y chiquito con numerador positivo: el límite es $+\infty$ .

3. Calculamos el lateral izquierdo. Denominador negativo y chiquito en módulo: el límite es $-\infty$ .

4. Clasificamos. Alguno de los laterales no existe como número finito, así que la discontinuidad es esencial. Es el caso de las asíntotas verticales, y no se arregla de ninguna manera.

Respuesta: esencial: hay asíntota vertical en $x = 6$

12. Sea $f(x) = x + 1$ si $x < -2$ , $f(x) = 1$ si $-2 \leq x < 1$ y $f(x) = \dfrac{1}{x - 1}$ si $x > 1$ . Clasificá la discontinuidad en cada punto de cambio.

Ver solución

1. Estudiamos $x = -2$ . Por izquierda el límite es $-1$ y por derecha $1$ : existen los dos y son distintos.

2. Clasificamos ese punto. Es una discontinuidad de salto, de tamaño $2$ .

3. Estudiamos $x = 1$ . Por izquierda el límite es $1$ , pero por derecha $\dfrac{1}{x - 1}$ se dispara a $+\infty$ .

4. Clasificamos ese punto. Como un lateral no existe como número finito, la discontinuidad es esencial. Además la función ni siquiera está definida en $x = 1$ .

Respuesta: en $x = -2$ es de salto y en $x = 1$ es esencial

Integradores de Límites y continuidad: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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