Ejercicios: Qué es una función continua

existe

f(a) \cdot

existe el límite

\cdot y

coinciden

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Sea $f(x) = 5 x$ si $x < -1$ y $f(x) = x - 4$ si $x \geq -1$ . Verificá las tres condiciones de continuidad en $x = -1$ .

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1. Primera condición: que esté definida. La condición $x \geq -1$ incluye al punto, así que $f(-1) = (-1) - 4 = -5$ : está definida.

2. Segunda condición: que exista el límite. El lateral izquierdo es $\lim_{x \to -1^-} 5 x = -5$ y el derecho $\lim_{x \to -1^+} \left(x - 4\right) = -5$ . Coinciden, así que el límite existe y vale $-5$ .

3. Tercera condición: que coincidan. El límite vale $-5$ y $f(-1) = -5$ : son iguales.

4. Concluimos. Se cumplen las tres, así que $f$ es continua en $x = -1$ . La tercera es la que más se olvida y es la que hace el trabajo.

Respuesta: es continua en $x = -1$ : las tres condiciones se cumplen y todo da $-5$

2. Decidí en qué conjunto es continua $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^{2} - 7 x + 10}$ .

Ver solución

1. Identificamos el tipo de función. Es una función racional, y las racionales son continuas en todo su dominio.

2. Buscamos el dominio. El denominador se anula en $x = 2$ y $x = 5$ , así que hay que sacarlos.

3. Escribimos el conjunto de continuidad. Es $\mathbb{R} - \{2, 5\}$ : en el resto de los reales las tres condiciones se cumplen solas.

4. Miramos qué pasa en los puntos excluidos. Ahí la función no está definida, así que falla la primera condición y no puede ser continua, aunque el gráfico a los costados se vea perfecto.

Respuesta: es continua en $\mathbb{R} - \{2, 5\}$

3. Sea $f(x) = \dfrac{x^{2} - 4}{x - 2}$ para $x \neq 2$ y $f(2) = 7$ . Decidí si $f$ es continua en $x = 2$ y, si no, con qué valor habría que definirla.

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1. Primera condición. Está definida: $f(2) = 7$ por dato.

2. Segunda condición. Factorizando, $\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$ para $x \neq 2$ , así que el límite existe y vale $4$ .

3. Tercera condición. El límite da $4$ y la función vale $7$ en el punto: no coinciden.

4. Concluimos y arreglamos. No es continua. Redefiniendo $f(2) = 4$ , o sea con el valor del límite, pasa a serlo.

Respuesta: no es continua; con $f(2) = 4$ sí lo sería

4. Decidí en qué conjunto es continua $f(x) = \ln(x - 6) + \operatorname{sen} x$ .

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1. Separamos la función en partes. Es una suma de dos funciones conocidas, y la suma de continuas es continua donde las dos lo son.

2. Analizamos el logaritmo. Es continuo en su dominio, que pide $x - 6 > 0$ , o sea $x > 6$ .

3. Analizamos el seno. Es continuo en todos los reales, sin restricciones.

4. Intersecamos. La suma es continua donde las dos lo son: en $(6, +\infty)$ . Manda la más restrictiva.

Respuesta: es continua en $(6, +\infty)$

5. Sea $f(x) = 4 x$ si $x < 1$ y $f(x) = x + 3$ si $x \geq 1$ . Verificá las tres condiciones de continuidad en $x = 1$ .

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1. Primera condición: que esté definida. La condición $x \geq 1$ incluye al punto, así que $f(1) = (1) + 3 = 4$ : está definida.

2. Segunda condición: que exista el límite. El lateral izquierdo es $\lim_{x \to 1^-} 4 x = 4$ y el derecho $\lim_{x \to 1^+} \left(x + 3\right) = 4$ . Coinciden, así que el límite existe y vale $4$ .

3. Tercera condición: que coincidan. El límite vale $4$ y $f(1) = 4$ : son iguales.

4. Concluimos. Se cumplen las tres, así que $f$ es continua en $x = 1$ . La tercera es la que más se olvida y es la que hace el trabajo.

Respuesta: es continua en $x = 1$ : las tres condiciones se cumplen y todo da $4$

6. Decidí en qué conjunto es continua $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^{2} - 2 x - 3}$ .

Ver solución

1. Identificamos el tipo de función. Es una función racional, y las racionales son continuas en todo su dominio.

2. Buscamos el dominio. El denominador se anula en $x = -1$ y $x = 3$ , así que hay que sacarlos.

3. Escribimos el conjunto de continuidad. Es $\mathbb{R} - \{-1, 3\}$ : en el resto de los reales las tres condiciones se cumplen solas.

4. Miramos qué pasa en los puntos excluidos. Ahí la función no está definida, así que falla la primera condición y no puede ser continua, aunque el gráfico a los costados se vea perfecto.

Respuesta: es continua en $\mathbb{R} - \{-1, 3\}$

7. Sea $f(x) = \dfrac{x^{2} - 1}{x - 1}$ para $x \neq 1$ y $f(1) = 8$ . Decidí si $f$ es continua en $x = 1$ y, si no, con qué valor habría que definirla.

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1. Primera condición. Está definida: $f(1) = 8$ por dato.

2. Segunda condición. Factorizando, $\dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$ para $x \neq 1$ , así que el límite existe y vale $2$ .

3. Tercera condición. El límite da $2$ y la función vale $8$ en el punto: no coinciden.

4. Concluimos y arreglamos. No es continua. Redefiniendo $f(1) = 2$ , o sea con el valor del límite, pasa a serlo.

Respuesta: no es continua; con $f(1) = 2$ sí lo sería

8. Decidí en qué conjunto es continua $f(x) = \ln(x - 3) + \operatorname{sen} x$ .

Ver solución

1. Separamos la función en partes. Es una suma de dos funciones conocidas, y la suma de continuas es continua donde las dos lo son.

2. Analizamos el logaritmo. Es continuo en su dominio, que pide $x - 3 > 0$ , o sea $x > 3$ .

3. Analizamos el seno. Es continuo en todos los reales, sin restricciones.

4. Intersecamos. La suma es continua donde las dos lo son: en $(3, +\infty)$ . Manda la más restrictiva.

Respuesta: es continua en $(3, +\infty)$

9. Sea $f(x) = 3 x$ si $x < 4$ y $f(x) = x + 8$ si $x \geq 4$ . Verificá las tres condiciones de continuidad en $x = 4$ .

Ver solución

1. Primera condición: que esté definida. La condición $x \geq 4$ incluye al punto, así que $f(4) = (4) + 8 = 12$ : está definida.

2. Segunda condición: que exista el límite. El lateral izquierdo es $\lim_{x \to 4^-} 3 x = 12$ y el derecho $\lim_{x \to 4^+} \left(x + 8\right) = 12$ . Coinciden, así que el límite existe y vale $12$ .

3. Tercera condición: que coincidan. El límite vale $12$ y $f(4) = 12$ : son iguales.

4. Concluimos. Se cumplen las tres, así que $f$ es continua en $x = 4$ . La tercera es la que más se olvida y es la que hace el trabajo.

Respuesta: es continua en $x = 4$ : las tres condiciones se cumplen y todo da $12$

10. Decidí en qué conjunto es continua $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^{2} + x - 6}$ .

Ver solución

1. Identificamos el tipo de función. Es una función racional, y las racionales son continuas en todo su dominio.

2. Buscamos el dominio. El denominador se anula en $x = -3$ y $x = 2$ , así que hay que sacarlos.

3. Escribimos el conjunto de continuidad. Es $\mathbb{R} - \{-3, 2\}$ : en el resto de los reales las tres condiciones se cumplen solas.

4. Miramos qué pasa en los puntos excluidos. Ahí la función no está definida, así que falla la primera condición y no puede ser continua, aunque el gráfico a los costados se vea perfecto.

Respuesta: es continua en $\mathbb{R} - \{-3, 2\}$

11. Sea $f(x) = \dfrac{x^{2} - 9}{x - 3}$ para $x \neq 3$ y $f(3) = 1$ . Decidí si $f$ es continua en $x = 3$ y, si no, con qué valor habría que definirla.

Ver solución

1. Primera condición. Está definida: $f(3) = 1$ por dato.

2. Segunda condición. Factorizando, $\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$ para $x \neq 3$ , así que el límite existe y vale $6$ .

3. Tercera condición. El límite da $6$ y la función vale $1$ en el punto: no coinciden.

4. Concluimos y arreglamos. No es continua. Redefiniendo $f(3) = 6$ , o sea con el valor del límite, pasa a serlo.

Respuesta: no es continua; con $f(3) = 6$ sí lo sería

12. Decidí en qué conjunto es continua $f(x) = \ln(x - 2) + \operatorname{sen} x$ .

Ver solución

1. Separamos la función en partes. Es una suma de dos funciones conocidas, y la suma de continuas es continua donde las dos lo son.

2. Analizamos el logaritmo. Es continuo en su dominio, que pide $x - 2 > 0$ , o sea $x > 2$ .

3. Analizamos el seno. Es continuo en todos los reales, sin restricciones.

4. Intersecamos. La suma es continua donde las dos lo son: en $(2, +\infty)$ . Manda la más restrictiva.

Respuesta: es continua en $(2, +\infty)$

Integradores de Límites y continuidad: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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