Qué es una función continua

Una función es continua en un punto cuando su gráfico se puede dibujar ahí sin levantar el lápiz. Formalmente son tres condiciones y las tres tienen que cumplirse.

La primera es que la función esté definida en el punto. La segunda es que el límite exista, o sea que los dos laterales coincidan. La tercera es que ese límite sea igual al valor de la función.

La tercera es la que más se olvida, y es la que hace el trabajo. Puede pasar que la función esté definida y que el límite exista, pero que sean números distintos: ahí hay un punto suelto arriba o abajo de donde debería estar.

Cuando se dice que una función es continua a secas, se entiende que lo es en todo su dominio. Las funciones conocidas lo son: polinomios, exponenciales, senos y cosenos son continuas en todos lados, y las racionales y logarítmicas lo son donde están definidas.

Sumar, restar, multiplicar y componer funciones continuas da funciones continuas. Por eso en la práctica casi todo es continuo, y lo que hay que revisar son los puntos especiales: donde se anula un denominador o donde cambia la fórmula.

existe

f(a) \cdot

existe el límite

\cdot y

coinciden

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio da una función por tramos y pregunta si es continua, o pide hallar el valor de un parámetro que la haga continua. Verificá las tres condiciones en el punto de cambio, sobre todo la tercera.

Ejemplo 1

Verificar si $f(x) = x^{2}$ si $x < 2$ y $2x$ si $x \geq 2$ es continua en $x = 2$ .

Verificamos la primera condición. Como $x = 2$ cae en el segundo tramo, $f(2) = 4$ . Existe.
Calculamos el lateral izquierdo. Con $x^{2}$ se acerca a $4$ .
Calculamos el derecho. Con $2x$ se acerca a $4$ .
Verificamos la tercera condición. El límite vale $4$ y $f(2) = 4$ : coinciden.
Respuesta: es continua en $x = 2$

Ejemplo 2

Verificar si la función que vale $x + 1$ para $x \neq 1$ y $5$ en $x = 1$ es continua en $x = 1$ .

Verificamos la primera condición. $f(1) = 5$ por definición. Existe.
Calculamos el límite. Acercándose por los dos lados rige $x + 1$ , que tiende a $2$ .
Verificamos la tercera. El límite vale $2$ y la función vale $5$ : no coinciden.
Concluimos. Falla la tercera condición.
Respuesta: no es continua: el límite vale $2$ y $f(1) = 5$

Error típico

Verificar solo que exista el límite y concluir que es continua. Puede existir y valer otra cosa distinta de $f(a)$ : ahí hay discontinuidad evitable.

Practicar

← El número e como límite Tipos de discontinuidad →

Otros subtemas de Límites y continuidad

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .