Asíntotas horizontales

Una asíntota horizontal describe hacia qué altura tiende la función cuando la variable se aleja hacia el infinito. Es el límite en el infinito, leído como una recta del gráfico.

En cocientes de polinomios sale de comparar grados. Si el denominador tiene grado mayor, la asíntota es el eje horizontal. Si los grados coinciden, es la recta a la altura del cociente de los coeficientes principales. Si el numerador tiene grado mayor, no hay asíntota horizontal.

Hay que calcularlas hacia los dos infinitos por separado, porque no siempre coinciden. Con polinomios suelen dar lo mismo, pero con exponenciales o raíces cambian, y una función puede tener una asíntota de un lado y otra distinta del otro.

A diferencia de las verticales, la curva sí puede cruzar una asíntota horizontal. La asíntota describe hacia dónde va lejos del origen, no una barrera. Muchas funciones la cruzan cerca del cero y después se le acercan desde el otro lado.

\lim f(x) = L

\pm \infty, y = L

es asíntota

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide asíntotas o el comportamiento en el infinito. Calculá los dos límites, hacia más y hacia menos infinito, porque pueden dar distinto. Que la curva la cruce no invalida nada.

Ejemplo 1

Hallar las asíntotas horizontales de $f(x) = (3x - 1)/(x + 2)$ .

Calculamos el límite hacia más infinito. Grados iguales, así que es el cociente de principales: $3/1 = 3$ .
Calculamos hacia menos infinito. El mismo razonamiento da $3$ también.
Comparamos. Los dos lados dan lo mismo: hay una sola asíntota.
Escribimos la respuesta. $y = 3$
Respuesta: hay una asíntota horizontal: $y = 3$

Ejemplo 2

Hallar las asíntotas horizontales de $f(x) = \sqrt{x^{2} + 1}/x$ .

Calculamos hacia más infinito. Sacando $x^{2}$ de la raíz y usando $\sqrt{x^{2}} = x$ porque $x$ es positivo, queda $1$ .
Calculamos hacia menos infinito. Ahora $\sqrt{x^{2}} = -x$ , así que queda $-1$ .
Comparamos. Los dos lados dan distinto.
Escribimos la respuesta. Hay dos asíntotas horizontales, una para cada lado.
Respuesta: $y = 1$ hacia $+\infty$ y $y = -1$ hacia $-\infty$

Error típico

Dibujar la curva sin cruzar nunca la asíntota horizontal porque la vertical no se cruza. Son reglas distintas: la horizontal solo describe el comportamiento lejano.

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

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