Método

Racionalizar para salvarla

Cuando la indeterminación de cero sobre cero viene con una raíz, factorizar no alcanza. La técnica es racionalizar: multiplicar y dividir por el conjugado de la parte que tiene la raíz.

El conjugado es la misma expresión con el signo del medio cambiado. Al multiplicar una expresión por su conjugado se obtiene una diferencia de cuadrados, y como el cuadrado cancela la raíz, esta desaparece.

El truco está en dónde aparece el factor común. La raíz se va del lado donde se multiplicó, y ahí queda una expresión polinómica que se puede simplificar con el otro lado. Del otro lado queda el conjugado sin desarrollar, y conviene dejarlo así: se va a evaluar directo al final.

Un error frecuente es desarrollar el conjugado. Eso complica la cuenta sin ningún beneficio, porque justamente lo que se busca es simplificar el otro lado.

el conjugado de a−b\sqrt{a} - b es a+b\sqrt{a} + b
Cuándo se usa

Cuando hay cero sobre cero y aparece una raíz. Multiplicá arriba y abajo por el conjugado del lado que tiene la raíz. No desarrolles el conjugado: dejalo escrito y evaluá ahí al final.

Ejemplo 1

Calcular el límite de (x−2)/(x−4)(\sqrt{x} - 2)/(x - 4) cuando xx tiende a 44.

Verificamos que sea 0/00/0. 4−2=0\sqrt{4} - 2 = 0 y 4−4=04 - 4 = 0.
Multiplicamos arriba y abajo por el conjugado. El conjugado de x−2\sqrt{x} - 2 es x+2\sqrt{x} + 2.
Resolvemos el numerador. (x−2)(x+2)=x−4(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4.
Escribimos la fracción sin desarrollar abajo. (x−4)/[(x−4)(x+2)](x - 4) / [ (x - 4)(\sqrt{x} + 2) ]
Cancelamos y reemplazamos. 1/(x+2)1/(\sqrt{x} + 2), que en x=4x = 4 vale 1/41/4.
Respuesta: el límite vale 1/41/4

Ejemplo 2

Calcular el límite de (x+1−1)/x(\sqrt{x + 1} - 1)/x cuando xx tiende a 00.

Verificamos que sea 0/00/0. 1−1=0\sqrt{1} - 1 = 0 y el denominador 00.
Multiplicamos por el conjugado. El conjugado es x+1+1\sqrt{x + 1} + 1.
Resolvemos el numerador. (x+1)−1=x(x + 1) - 1 = x.
Armamos y cancelamos. x/[x(x+1+1)]=1/(x+1+1)x / [ x (\sqrt{x+1} + 1) ] = 1/(\sqrt{x+1} + 1).
Reemplazamos. 1/(1+1)=1/21/(1 + 1) = 1/2
Respuesta: el límite vale 1/21/2

Error típico

Desarrollar el denominador después de multiplicar por el conjugado. Hay que dejarlo factorizado: si no, el factor que había que cancelar queda escondido.

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

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