Ejercicios: Racionalizar para salvarla

el conjugado de

\sqrt{a} - b

\sqrt{a} + b

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá $\lim_{x \to 16} \dfrac{\sqrt{x} - 4}{x - 16}$ .

Ver solución

1. Reemplazamos. Arriba $\sqrt{16} - 4 = 0$ y abajo $16 - 16 = 0$ : indeterminación con una raíz.

2. Multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador. El conjugado de $\sqrt{x} - 4$ es $\sqrt{x} + 4$ .

3. Desarrollamos solo el lado que tiene la raíz. Arriba queda $(\sqrt{x})^{2} - 16 = x - 16$ , y abajo $(x - 16)(\sqrt{x} + 4)$ , que conviene dejar sin desarrollar.

4. Simplificamos y evaluamos. Se cancela $x - 16$ y queda $\dfrac{1}{\sqrt{x} + 4}$ , que en $x = 16$ vale $\dfrac{1}{8}$ .

Respuesta: $\dfrac{1}{8}$

2. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{5}}{x}$ .

Ver solución

1. Reemplazamos. Arriba $\sqrt{5} - \sqrt{5} = 0$ y abajo $0$ : indeterminación con raíces.

2. Multiplicamos y dividimos por el conjugado. El conjugado del numerador es $\sqrt{x + 5} + \sqrt{5}$ .

3. Usamos la diferencia de cuadrados arriba. Queda $(x + 5) - 5 = x$ , y abajo $x\left(\sqrt{x + 5} + \sqrt{5}\right)$ .

4. Simplificamos y evaluamos. Se cancela la $x$ y queda $\dfrac{1}{\sqrt{x + 5} + \sqrt{5}}$ , que en $x = 0$ vale $\dfrac{1}{2\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{10}$ .

Respuesta: $\dfrac{\sqrt{5}}{10}$

3. Calculá $\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + 4} - \sqrt{6}}{x - 2}$ .

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1. Reemplazamos. Arriba $\sqrt{2 + 4} - \sqrt{6} = 0$ y abajo $0$ .

2. Racionalizamos el numerador. Multiplicamos arriba y abajo por $\sqrt{x + 4} + \sqrt{6}$ .

3. Desarrollamos arriba y dejamos el conjugado abajo. Arriba queda $(x + 4) - 6 = x - 2$ , y abajo $(x - 2)\left(\sqrt{x + 4} + \sqrt{6}\right)$ .

4. Simplificamos y evaluamos. Queda $\dfrac{1}{\sqrt{x + 4} + \sqrt{6}}$ , que en $x = 2$ vale $\dfrac{1}{2\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{12}$ .

Respuesta: $\dfrac{\sqrt{6}}{12}$

4. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}$ .

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1. Reemplazamos. Arriba $0$ y abajo $\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ : indeterminación, y la raíz está abajo.

2. Racionalizamos el denominador. Multiplicamos arriba y abajo por el conjugado $\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}$ .

3. Desarrollamos el denominador. Queda $(x + 2) - 2 = x$ , y arriba $x\left(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}\right)$ .

4. Simplificamos y evaluamos. Se cancela la $x$ y queda $\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}$ , que en $x = 0$ vale $2 \sqrt{2}$ . Notá que este límite es el inverso del ejercicio típico con la raíz arriba.

Respuesta: $2 \sqrt{2}$

5. Calculá $\lim_{x \to 49} \dfrac{\sqrt{x} - 7}{x - 49}$ .

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1. Reemplazamos. Arriba $\sqrt{49} - 7 = 0$ y abajo $49 - 49 = 0$ : indeterminación con una raíz.

2. Multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador. El conjugado de $\sqrt{x} - 7$ es $\sqrt{x} + 7$ .

3. Desarrollamos solo el lado que tiene la raíz. Arriba queda $(\sqrt{x})^{2} - 49 = x - 49$ , y abajo $(x - 49)(\sqrt{x} + 7)$ , que conviene dejar sin desarrollar.

4. Simplificamos y evaluamos. Se cancela $x - 49$ y queda $\dfrac{1}{\sqrt{x} + 7}$ , que en $x = 49$ vale $\dfrac{1}{14}$ .

Respuesta: $\dfrac{1}{14}$

6. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 3} - \sqrt{3}}{x}$ .

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1. Reemplazamos. Arriba $\sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$ y abajo $0$ : indeterminación con raíces.

2. Multiplicamos y dividimos por el conjugado. El conjugado del numerador es $\sqrt{x + 3} + \sqrt{3}$ .

3. Usamos la diferencia de cuadrados arriba. Queda $(x + 3) - 3 = x$ , y abajo $x\left(\sqrt{x + 3} + \sqrt{3}\right)$ .

4. Simplificamos y evaluamos. Se cancela la $x$ y queda $\dfrac{1}{\sqrt{x + 3} + \sqrt{3}}$ , que en $x = 0$ vale $\dfrac{1}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}$ .

Respuesta: $\dfrac{\sqrt{3}}{6}$

7. Calculá $\lim_{x \to 2} \dfrac{\sqrt{x + 5} - \sqrt{7}}{x - 2}$ .

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1. Reemplazamos. Arriba $\sqrt{2 + 5} - \sqrt{7} = 0$ y abajo $0$ .

2. Racionalizamos el numerador. Multiplicamos arriba y abajo por $\sqrt{x + 5} + \sqrt{7}$ .

3. Desarrollamos arriba y dejamos el conjugado abajo. Arriba queda $(x + 5) - 7 = x - 2$ , y abajo $(x - 2)\left(\sqrt{x + 5} + \sqrt{7}\right)$ .

4. Simplificamos y evaluamos. Queda $\dfrac{1}{\sqrt{x + 5} + \sqrt{7}}$ , que en $x = 2$ vale $\dfrac{1}{2\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{7}}{14}$ .

Respuesta: $\dfrac{\sqrt{7}}{14}$

8. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt{x + 3} - \sqrt{3}}$ .

Ver solución

1. Reemplazamos. Arriba $0$ y abajo $\sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$ : indeterminación, y la raíz está abajo.

2. Racionalizamos el denominador. Multiplicamos arriba y abajo por el conjugado $\sqrt{x + 3} + \sqrt{3}$ .

3. Desarrollamos el denominador. Queda $(x + 3) - 3 = x$ , y arriba $x\left(\sqrt{x + 3} + \sqrt{3}\right)$ .

4. Simplificamos y evaluamos. Se cancela la $x$ y queda $\sqrt{x + 3} + \sqrt{3}$ , que en $x = 0$ vale $2 \sqrt{3}$ . Notá que este límite es el inverso del ejercicio típico con la raíz arriba.

Respuesta: $2 \sqrt{3}$

9. Calculá $\lim_{x \to 25} \dfrac{\sqrt{x} - 5}{x - 25}$ .

Ver solución

1. Reemplazamos. Arriba $\sqrt{25} - 5 = 0$ y abajo $25 - 25 = 0$ : indeterminación con una raíz.

2. Multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador. El conjugado de $\sqrt{x} - 5$ es $\sqrt{x} + 5$ .

3. Desarrollamos solo el lado que tiene la raíz. Arriba queda $(\sqrt{x})^{2} - 25 = x - 25$ , y abajo $(x - 25)(\sqrt{x} + 5)$ , que conviene dejar sin desarrollar.

4. Simplificamos y evaluamos. Se cancela $x - 25$ y queda $\dfrac{1}{\sqrt{x} + 5}$ , que en $x = 25$ vale $\dfrac{1}{10}$ .

Respuesta: $\dfrac{1}{10}$

10. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 2} - \sqrt{2}}{x}$ .

Ver solución

1. Reemplazamos. Arriba $\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$ y abajo $0$ : indeterminación con raíces.

2. Multiplicamos y dividimos por el conjugado. El conjugado del numerador es $\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}$ .

3. Usamos la diferencia de cuadrados arriba. Queda $(x + 2) - 2 = x$ , y abajo $x\left(\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}\right)$ .

4. Simplificamos y evaluamos. Se cancela la $x$ y queda $\dfrac{1}{\sqrt{x + 2} + \sqrt{2}}$ , que en $x = 0$ vale $\dfrac{1}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{4}$ .

Respuesta: $\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

11. Calculá $\lim_{x \to 3} \dfrac{\sqrt{x + 8} - \sqrt{11}}{x - 3}$ .

Ver solución

1. Reemplazamos. Arriba $\sqrt{3 + 8} - \sqrt{11} = 0$ y abajo $0$ .

2. Racionalizamos el numerador. Multiplicamos arriba y abajo por $\sqrt{x + 8} + \sqrt{11}$ .

3. Desarrollamos arriba y dejamos el conjugado abajo. Arriba queda $(x + 8) - 11 = x - 3$ , y abajo $(x - 3)\left(\sqrt{x + 8} + \sqrt{11}\right)$ .

4. Simplificamos y evaluamos. Queda $\dfrac{1}{\sqrt{x + 8} + \sqrt{11}}$ , que en $x = 3$ vale $\dfrac{1}{2\sqrt{11}} = \dfrac{\sqrt{11}}{22}$ .

Respuesta: $\dfrac{\sqrt{11}}{22}$

12. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sqrt{x + 4} - \sqrt{4}}$ .

Ver solución

1. Reemplazamos. Arriba $0$ y abajo $\sqrt{4} - \sqrt{4} = 0$ : indeterminación, y la raíz está abajo.

2. Racionalizamos el denominador. Multiplicamos arriba y abajo por el conjugado $\sqrt{x + 4} + \sqrt{4}$ .

3. Desarrollamos el denominador. Queda $(x + 4) - 4 = x$ , y arriba $x\left(\sqrt{x + 4} + \sqrt{4}\right)$ .

4. Simplificamos y evaluamos. Se cancela la $x$ y queda $\sqrt{x + 4} + \sqrt{4}$ , que en $x = 0$ vale $4$ . Notá que este límite es el inverso del ejercicio típico con la raíz arriba.

Respuesta: $4$

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