Ejercicios: Límites en el infinito

manda el término de mayor grado

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá $\lim_{x \to +\infty} \left(2 x^{3} - 5 x + 1\right)$ y $\lim_{x \to -\infty} \left(2 x^{3} - 5 x + 1\right)$ .

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1. Buscamos el término dominante. Es $2 x^{3}$ : para valores enormes de $|x|$ , esa potencia es muchísimo más grande que las otras, que se vuelven despreciables.

2. Calculamos hacia más infinito. $x^{3}$ va a $+\infty$ , y multiplicado por $2$ el resultado va a $+\infty$ .

3. Calculamos hacia menos infinito. Con exponente impar, $x^{3}$ va a $-\infty$ , así que el producto va a $-\infty$ .

4. Escribimos la conclusión. En un polinomio manda siempre el término de mayor grado: los demás no cambian el resultado en el infinito.

Respuesta: $+\infty$ y $-\infty$

2. Calculá $\lim_{x \to +\infty} \left(2 + \dfrac{6}{x} - \dfrac{3}{x^{2}}\right)$ .

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1. Separamos la expresión en términos. Hay una constante y dos fracciones con la variable en el denominador.

2. Analizamos la primera fracción. $\dfrac{6}{x}$ : dividir un número fijo por algo enorme da algo minúsculo, así que tiende a $0$ .

3. Analizamos la segunda. $\dfrac{3}{x^{2}}$ tiende a $0$ por la misma razón, y todavía más rápido.

4. Sumamos los límites. $2 + 0 - 0 = 2$ . Toda potencia de $x$ en el denominador se va a cero: ese hecho sostiene casi todas las técnicas del tema.

Respuesta: $2$

3. Calculá $\lim_{x \to +\infty} 6^{x}$ , $\lim_{x \to -\infty} 6^{x}$ y $\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{6}\right)^{x}$ .

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1. Miramos la base del primero. $6$ es mayor que uno, así que la exponencial crece sin freno: el límite es $+\infty$ .

2. Vamos hacia menos infinito. $6^{x} = \dfrac{1}{6^{-x}}$ , y con $x$ muy negativo el denominador es enorme, así que el límite es $0$ .

3. Miramos la tercera. La base $\dfrac{1}{6}$ está entre cero y uno, así que decrece hacia $0$ .

4. Interpretamos. El $0$ que aparece en dos de los tres es la asíntota horizontal $y = 0$ de toda exponencial, de un lado o del otro según la base.

Respuesta: $+\infty$ , $0$ y $0$

4. Calculá $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{7x^{3} - 4}{x^{2}}$ dividiendo cada término.

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1. Separamos la fracción. $\dfrac{7x^{3}}{x^{2}} - \dfrac{4}{x^{2}} = 7x - \dfrac{4}{x^{2}}$

2. Analizamos el primer término. $7x$ crece sin freno: va a $+\infty$ .

3. Analizamos el segundo. $\dfrac{4}{x^{2}}$ tiende a $0$ .

4. Combinamos. Algo que se dispara menos algo que se va a cero sigue disparándose, así que el límite es $+\infty$ .

Respuesta: $+\infty$

5. Calculá $\lim_{x \to +\infty} \left(- 2 x^{2} - 4 x + 1\right)$ y $\lim_{x \to -\infty} \left(- 2 x^{2} - 4 x + 1\right)$ .

Ver solución

1. Buscamos el término dominante. Es $- 2 x^{2}$ : para valores enormes de $|x|$ , esa potencia es muchísimo más grande que las otras, que se vuelven despreciables.

2. Calculamos hacia más infinito. $x^{2}$ va a $+\infty$ , y multiplicado por $-2$ el resultado va a $-\infty$ .

3. Calculamos hacia menos infinito. Con exponente par, $x^{2}$ va a $+\infty$ también, así que el producto va a $-\infty$ .

4. Escribimos la conclusión. En un polinomio manda siempre el término de mayor grado: los demás no cambian el resultado en el infinito.

Respuesta: $-\infty$ y $-\infty$

6. Calculá $\lim_{x \to +\infty} \left(5 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{4}{x^{2}}\right)$ .

Ver solución

1. Separamos la expresión en términos. Hay una constante y dos fracciones con la variable en el denominador.

2. Analizamos la primera fracción. $\dfrac{2}{x}$ : dividir un número fijo por algo enorme da algo minúsculo, así que tiende a $0$ .

3. Analizamos la segunda. $\dfrac{4}{x^{2}}$ tiende a $0$ por la misma razón, y todavía más rápido.

4. Sumamos los límites. $5 + 0 - 0 = 5$ . Toda potencia de $x$ en el denominador se va a cero: ese hecho sostiene casi todas las técnicas del tema.

Respuesta: $5$

7. Calculá $\lim_{x \to +\infty} 5^{x}$ , $\lim_{x \to -\infty} 5^{x}$ y $\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{5}\right)^{x}$ .

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1. Miramos la base del primero. $5$ es mayor que uno, así que la exponencial crece sin freno: el límite es $+\infty$ .

2. Vamos hacia menos infinito. $5^{x} = \dfrac{1}{5^{-x}}$ , y con $x$ muy negativo el denominador es enorme, así que el límite es $0$ .

3. Miramos la tercera. La base $\dfrac{1}{5}$ está entre cero y uno, así que decrece hacia $0$ .

4. Interpretamos. El $0$ que aparece en dos de los tres es la asíntota horizontal $y = 0$ de toda exponencial, de un lado o del otro según la base.

Respuesta: $+\infty$ , $0$ y $0$

8. Calculá $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^{3} - 1}{x^{2}}$ dividiendo cada término.

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1. Separamos la fracción. $\dfrac{3x^{3}}{x^{2}} - \dfrac{1}{x^{2}} = 3x - \dfrac{1}{x^{2}}$

2. Analizamos el primer término. $3x$ crece sin freno: va a $+\infty$ .

3. Analizamos el segundo. $\dfrac{1}{x^{2}}$ tiende a $0$ .

4. Combinamos. Algo que se dispara menos algo que se va a cero sigue disparándose, así que el límite es $+\infty$ .

Respuesta: $+\infty$

9. Calculá $\lim_{x \to +\infty} \left(4 x^{3} - 2 x + 1\right)$ y $\lim_{x \to -\infty} \left(4 x^{3} - 2 x + 1\right)$ .

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1. Buscamos el término dominante. Es $4 x^{3}$ : para valores enormes de $|x|$ , esa potencia es muchísimo más grande que las otras, que se vuelven despreciables.

2. Calculamos hacia más infinito. $x^{3}$ va a $+\infty$ , y multiplicado por $4$ el resultado va a $+\infty$ .

3. Calculamos hacia menos infinito. Con exponente impar, $x^{3}$ va a $-\infty$ , así que el producto va a $-\infty$ .

4. Escribimos la conclusión. En un polinomio manda siempre el término de mayor grado: los demás no cambian el resultado en el infinito.

Respuesta: $+\infty$ y $-\infty$

10. Calculá $\lim_{x \to +\infty} \left(4 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{7}{x^{2}}\right)$ .

Ver solución

1. Separamos la expresión en términos. Hay una constante y dos fracciones con la variable en el denominador.

2. Analizamos la primera fracción. $\dfrac{1}{x}$ : dividir un número fijo por algo enorme da algo minúsculo, así que tiende a $0$ .

3. Analizamos la segunda. $\dfrac{7}{x^{2}}$ tiende a $0$ por la misma razón, y todavía más rápido.

4. Sumamos los límites. $4 + 0 - 0 = 4$ . Toda potencia de $x$ en el denominador se va a cero: ese hecho sostiene casi todas las técnicas del tema.

Respuesta: $4$

11. Calculá $\lim_{x \to +\infty} 4^{x}$ , $\lim_{x \to -\infty} 4^{x}$ y $\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{x}$ .

Ver solución

1. Miramos la base del primero. $4$ es mayor que uno, así que la exponencial crece sin freno: el límite es $+\infty$ .

2. Vamos hacia menos infinito. $4^{x} = \dfrac{1}{4^{-x}}$ , y con $x$ muy negativo el denominador es enorme, así que el límite es $0$ .

3. Miramos la tercera. La base $\dfrac{1}{4}$ está entre cero y uno, así que decrece hacia $0$ .

4. Interpretamos. El $0$ que aparece en dos de los tres es la asíntota horizontal $y = 0$ de toda exponencial, de un lado o del otro según la base.

Respuesta: $+\infty$ , $0$ y $0$

12. Calculá $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x^{3} - 7}{x^{2}}$ dividiendo cada término.

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1. Separamos la fracción. $\dfrac{4x^{3}}{x^{2}} - \dfrac{7}{x^{2}} = 4x - \dfrac{7}{x^{2}}$

2. Analizamos el primer término. $4x$ crece sin freno: va a $+\infty$ .

3. Analizamos el segundo. $\dfrac{7}{x^{2}}$ tiende a $0$ .

4. Combinamos. Algo que se dispara menos algo que se va a cero sigue disparándose, así que el límite es $+\infty$ .

Respuesta: $+\infty$

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