Ejercicios: La indeterminación infinito sobre infinito

2. Comparamos los grados. Los dos son de grado dos: empatan.

3. Dividimos todo por la potencia más alta. $\dfrac{5 + \dfrac{3}{x}}{2 - \dfrac{7}{x^{2}}}$

4. Tomamos límite término a término. Las fracciones con $x$ abajo se van a cero y queda $\dfrac{5}{2}$, que es el cociente de los coeficientes principales.

Respuesta: $\dfrac{5}{2}$

2. Dividimos numerador y denominador por ella. $\dfrac{7 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}}{1 + \dfrac{4}{x^{2}}}$

3. Justificamos el paso. Dividir arriba y abajo por lo mismo no cambia el valor de la fracción, y acá $x^{2}$ nunca es cero porque estamos mirando valores enormes de $x$.

4. Tomamos límite. Todo lo que tiene $x$ en el denominador se va a cero y queda $\dfrac{7}{1} = 7$.

Respuesta: $7$

2. Calculamos el grado del numerador. Adentro de la raíz hay grado dos, y la raíz cuadrada divide el exponente a la mitad: el numerador se comporta como grado uno, igual que el denominador.

3. Metemos la $x$ adentro de la raíz. Como $x \to +\infty$ es positivo, $x = \sqrt{x^{2}}$, así que la expresión es $\sqrt{\dfrac{49x^{2} + 6}{x^{2}}} = \sqrt{49 + \dfrac{6}{x^{2}}}$.

4. Tomamos límite. La fracción se va a cero y queda $\sqrt{49} = 7$. Hacia $-\infty$ el resultado sería $-7$, porque ahí $x = -\sqrt{x^{2}}$.

Respuesta: $7$

2. Escribimos el límite en función de $k$. Dividiendo todo por $x^{2}$ queda $\dfrac{k + \dfrac{7}{x}}{2 - \dfrac{1}{x^{2}}}$, que tiende a $\dfrac{k}{2}$.

3. Planteamos la ecuación. $\dfrac{k}{2} = 3$

4. Despejamos y verificamos. $k = 6$. Con ese valor el cociente de los principales da $\dfrac{6}{2} = 3$, como se pedía.

Respuesta: $k = 6$

2. Comparamos los grados. Arriba grado tres y abajo grado uno: gana el numerador.

3. Dividimos por $x$, la potencia más alta del denominador. $\dfrac{6x^{2} - \dfrac{4}{x}}{7 + \dfrac{2}{x}}$

4. Tomamos límite. Abajo queda $7$ y arriba $6x^{2}$ se dispara, así que el límite es $+\infty$.

Respuesta: $+\infty$

2. Dividimos numerador y denominador por ella. $\dfrac{5 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}}{4 + \dfrac{2}{x^{2}}}$

3. Justificamos el paso. Dividir arriba y abajo por lo mismo no cambia el valor de la fracción, y acá $x^{2}$ nunca es cero porque estamos mirando valores enormes de $x$.

4. Tomamos límite. Todo lo que tiene $x$ en el denominador se va a cero y queda $\dfrac{5}{4}$.

Respuesta: $\dfrac{5}{4}$

2. Calculamos el grado del numerador. Adentro de la raíz hay grado dos, y la raíz cuadrada divide el exponente a la mitad: el numerador se comporta como grado uno, igual que el denominador.

3. Metemos la $x$ adentro de la raíz. Como $x \to +\infty$ es positivo, $x = \sqrt{x^{2}}$, así que la expresión es $\sqrt{\dfrac{36x^{2} + 4}{x^{2}}} = \sqrt{36 + \dfrac{4}{x^{2}}}$.

4. Tomamos límite. La fracción se va a cero y queda $\sqrt{36} = 6$. Hacia $-\infty$ el resultado sería $-6$, porque ahí $x = -\sqrt{x^{2}}$.

Respuesta: $6$

2. Escribimos el límite en función de $k$. Dividiendo todo por $x^{2}$ queda $\dfrac{k + \dfrac{3}{x}}{2 - \dfrac{1}{x^{2}}}$, que tiende a $\dfrac{k}{2}$.

3. Planteamos la ecuación. $\dfrac{k}{2} = 4$

4. Despejamos y verificamos. $k = 8$. Con ese valor el cociente de los principales da $\dfrac{8}{2} = 4$, como se pedía.

Respuesta: $k = 8$

2. Comparamos los grados. Arriba grado uno y abajo grado dos: gana el denominador, que crece más rápido.

3. Dividimos por la potencia más alta, que es $x^{2}$. $\dfrac{\dfrac{7}{x} + \dfrac{5}{x^{2}}}{4 + \dfrac{3}{x^{2}}}$

4. Tomamos límite. Arriba todo se va a cero y abajo queda $4$, así que el límite es $0$.

Respuesta: $0$

2. Dividimos numerador y denominador por ella. $\dfrac{6 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}}{5 + \dfrac{3}{x^{2}}}$

3. Justificamos el paso. Dividir arriba y abajo por lo mismo no cambia el valor de la fracción, y acá $x^{2}$ nunca es cero porque estamos mirando valores enormes de $x$.

4. Tomamos límite. Todo lo que tiene $x$ en el denominador se va a cero y queda $\dfrac{6}{5}$.

Respuesta: $\dfrac{6}{5}$

2. Calculamos el grado del numerador. Adentro de la raíz hay grado dos, y la raíz cuadrada divide el exponente a la mitad: el numerador se comporta como grado uno, igual que el denominador.

3. Metemos la $x$ adentro de la raíz. Como $x \to +\infty$ es positivo, $x = \sqrt{x^{2}}$, así que la expresión es $\sqrt{\dfrac{9x^{2} + 2}{x^{2}}} = \sqrt{9 + \dfrac{2}{x^{2}}}$.

4. Tomamos límite. La fracción se va a cero y queda $\sqrt{9} = 3$. Hacia $-\infty$ el resultado sería $-3$, porque ahí $x = -\sqrt{x^{2}}$.

Respuesta: $3$

2. Escribimos el límite en función de $k$. Dividiendo todo por $x^{2}$ queda $\dfrac{k + \dfrac{4}{x}}{3 - \dfrac{1}{x^{2}}}$, que tiende a $\dfrac{k}{3}$.

3. Planteamos la ecuación. $\dfrac{k}{3} = 5$

4. Despejamos y verificamos. $k = 15$. Con ese valor el cociente de los principales da $\dfrac{15}{3} = 5$, como se pedía.

Respuesta: $k = 15$