Límites en el infinito

En vez de acercarse a un punto, la variable se hace cada vez más grande. Lo que se pregunta es hacia dónde va la función cuando uno se aleja indefinidamente.

Acá no se puede reemplazar, porque el infinito no es un número. Lo que se hace es analizar qué término domina la expresión cuando los valores son enormes.

En un polinomio manda siempre el término de mayor grado. Los otros existen, pero comparados con él se vuelven despreciables: si la variable vale un millón, su cubo es muchísimo más grande que su cuadrado.

Un caso importante es el de las potencias con la variable en el denominador. Cualquiera de ellas tiende a cero, porque dividir por algo enorme da algo minúsculo. Ese hecho es el que hace funcionar casi todas las técnicas del tema.

También hay que mirar el comportamiento hacia menos infinito, que no siempre es igual. En potencias pares el resultado coincide, pero en impares el signo se da vuelta.

manda el término de mayor grado

Cuándo se usa

Cuando el límite es hacia infinito o menos infinito en vez de hacia un punto. Buscá qué término domina: en polinomios es el de mayor grado, y todo lo que tenga la variable en el denominador se va a cero.

Ejemplo 1

Calcular el límite de $(3x^{2} + 5)/(x^{2} - 1)$ cuando $x$ tiende a infinito.

Identificamos la potencia más alta. Es $x^{2}$ , que aparece arriba y abajo.
Dividimos todos los términos por ella. $(3 + 5/x^{2})/(1 - 1/x^{2})$
Analizamos qué pasa con las fracciones. Con $x$ enorme, $5/x^{2}$ y $1/x^{2}$ se hacen despreciables: tienden a cero.
Reemplazamos. $3/1 = 3$
Respuesta: el límite vale $3$

Ejemplo 2

Calcular el límite de $(2x + 1)/(x^{2} + 3)$ cuando $x$ tiende a infinito.

Identificamos la potencia más alta. Es $x^{2}$ , que está abajo.
Dividimos todo por $x^{2}$ . $(2/x + 1/x^{2})/(1 + 3/x^{2})$
Analizamos. Arriba las dos fracciones tienden a cero; abajo queda $1$ .
Reemplazamos. $0/1 = 0$
Respuesta: el límite vale $0$ : el denominador crece más rápido

Error típico

Contestar que el límite es $\infty /\infty$ y frenar ahí. Esa forma es indeterminada, pero se resuelve dividiendo por la potencia más alta: el resultado siempre sale.

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

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