El teorema de Bolzano

Bolzano dice algo bastante intuitivo: si una función continua está por debajo del eje en un extremo del intervalo y por encima en el otro, en algún punto del medio tuvo que cruzarlo.

La idea es que una curva que se dibuja sin levantar el lápiz no puede pasar de negativa a positiva sin tocar el cero. Para saltearlo habría que levantar el lápiz, y eso es justamente lo que la continuidad prohíbe.

El teorema pide dos cosas: que la función sea continua en el intervalo cerrado, y que los valores en los extremos tengan signos opuestos. Si falta alguna, no se puede aplicar.

Lo que garantiza es que existe al menos una raíz, sin decir cuál ni cuántas. Puede haber una, tres o muchas. Para asegurar que es única hace falta otro argumento, casi siempre mostrar que la función es siempre creciente o siempre decreciente.

También sirve al revés: si una función continua no se anula nunca en un intervalo, entonces mantiene el mismo signo en todo el intervalo. Ese razonamiento es el que se usa para estudiar el signo de una función a partir de sus raíces.

f continua

y f(a) \cdot f(b)

0 \to

hay raíz

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide probar que una ecuación tiene solución en un intervalo. Verificá continuidad, evaluá en los dos extremos y mostrá que los signos son opuestos. Si además piden unicidad, mostrá que la derivada no cambia de signo.

Ejemplo 1

Mostrar que $f(x) = x^{3} - 2x - 2$ tiene una raíz entre $1$ y $2$ .

Verificamos la continuidad. Es un polinomio: continuo en todo $\mathbb{R}$ .
Evaluamos en el extremo izquierdo. $f(1) = 1 - 2 - 2 = -3$ , negativo.
Evaluamos en el derecho. $f(2) = 8 - 4 - 2 = 2$ , positivo.
Aplicamos el teorema. Se cumplen las dos hipótesis, así que hay al menos una raíz adentro.
Respuesta: hay al menos una raíz en $(1, 2)$

Ejemplo 2

Acorralar esa raíz partiendo el intervalo al medio dos veces.

Evaluamos en el punto medio. $f(1{,}5) = 3{,}375 - 3 - 2 = -1{,}625$ , negativo.
Elegimos el subintervalo donde cambia el signo. Como $f(1{,}5)$ es negativo y $f(2)$ positivo, la raíz está en $(1{,}5; 2)$ .
Repetimos con el nuevo punto medio. $f(1{,}75) = 5{,}36 - 3{,}5 - 2 = -0{,}14$ , todavía negativo.
Elegimos otra vez. La raíz está en $(1{,}75; 2)$ .
Respuesta: la raíz está entre $1{,}75$ y $2$

Error típico

Aplicarlo sin verificar la continuidad. Si la función tiene una asíntota adentro del intervalo, puede cambiar de signo sin cruzar nunca el eje.

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

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