El número e como límite

Cuando una base tiende a uno y el exponente tiende a infinito, el resultado queda indeterminado. Parece que debería dar uno, porque uno elevado a cualquier cosa es uno, pero la base no vale exactamente uno: vale un poquito más, y el exponente multiplica ese poquito muchísimas veces.

El resultado de esa pelea es el número e, que vale aproximadamente $2{,}718$ . Es una constante que aparece en toda la matemática y este es uno de los lugares donde se define.

La forma estándar es uno más algo que tiende a cero, todo elevado al inverso de ese algo. Cuando la expresión tiene exactamente esa forma, el límite es e.

Cuando no la tiene, hay que acomodarla, y ahí está el trabajo del ejercicio. Se arma el exponente que se necesita y se compensa afuera con lo que sobre. Si al final el exponente quedó multiplicado por una constante, el resultado es e elevado a esa constante.

\lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^{x} = e \approx 2{,}718

Cuándo se usa

Cuando la base tiende a uno y el exponente al infinito. Nunca respondas que da uno: es indeterminación. Acomodá la expresión hasta que tenga la forma conocida y compensá afuera lo que hayas agregado.

Ejemplo 1

Calcular el límite de $(1 + 3/x)^{x}$ cuando $x$ tiende a infinito.

Identificamos la forma. La base tiende a $1$ y el exponente a infinito: es $1^\infty$ .
Comparamos con la forma conocida. En vez de $1/x$ hay $3/x$ .
Aplicamos la versión general. El exponente por lo que excede a uno: $x \cdot 3/x = 3$ .
Escribimos el resultado. $e^{3}$
Respuesta: el límite vale $e^{3} \approx 20{,}09$

Ejemplo 2

Calcular el límite de $(1 + 1/x)^{5x}$ cuando $x$ tiende a infinito.

Identificamos la forma. Base que tiende a uno, exponente que crece.
Aplicamos la regla. El exponente es $5x$ y el exceso $1/x$ .
Multiplicamos. $5x \cdot 1/x = 5$
Escribimos el resultado. $e^{5}$
Respuesta: el límite vale $e^{5}$

Error típico

Contestar que $1^\infty$ vale uno porque uno elevado a cualquier cosa da uno. La base no es exactamente uno: se acerca, y esa diferencia mínima elevada a un exponente enorme cambia todo.

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

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