Método

Ejercicios: El número e como límite

lim⁡x→∞(1+1/x)x=e≈2,718\lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^{x} = e \approx 2{,}718

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá lim⁡x→+∞(1+3x)x\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^{x}.

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1. Vemos la indeterminación. La base tiende a 11 y el exponente a infinito: no da 11, es indeterminación.

2. Buscamos la forma conocida. Queremos que el exponente sea el inverso de lo que se suma, o sea x3\dfrac{x}{3}.

3. Acomodamos el exponente y compensamos. (1+3x)x=[(1+3x)x/3]3\left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^{x} = \left[\left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^{x/3}\right]^{3}

4. Aplicamos el límite conocido. Lo de adentro del corchete tiende a ee, así que el resultado es e3e^{3}.

Respuesta: e3e^{3}

2. Calculá lim⁡x→+∞(1+1x)2x\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{2x}.

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1. Vemos la indeterminación. Base que tiende a 11 y exponente que tiende a infinito.

2. Reconocemos la parte conocida. (1+1x)x\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x} ya tiene la forma estándar y tiende a ee.

3. Separamos el exponente. (1+1x)2x=[(1+1x)x]2\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{2x} = \left[\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}\right]^{2}

4. Tomamos límite. El corchete tiende a ee y el exponente de afuera es la constante 22, así que el resultado es e2e^{2}.

Respuesta: e2e^{2}

3. Calculá lim⁡x→+∞(x+2x−2)x\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x + 2}{x - 2}\right)^{x}.

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1. Escribimos la base como uno más algo chico. x+2x−2=(x−2)+4x−2=1+4x−2\dfrac{x + 2}{x - 2} = \dfrac{(x - 2) + 4}{x - 2} = 1 + \dfrac{4}{x - 2}

2. Confirmamos la indeterminación. La base tiende a 11 y el exponente a infinito, así que hay que acomodar.

3. Armamos la forma conocida. El exponente que hace falta es x−24\dfrac{x - 2}{4}, así que escribimos [(1+4x−2)x−24]4xx−2\left[\left(1 + \dfrac{4}{x - 2}\right)^{\frac{x - 2}{4}}\right]^{\frac{4x}{x - 2}}.

4. Tomamos límite de cada parte. El corchete tiende a ee y el exponente de afuera tiende a 44, porque xx−2→1\dfrac{x}{x - 2} \to 1. Queda e4e^{4}.

Respuesta: e4e^{4}

4. Calculá lim⁡x→0(1+7x)1/x\lim_{x \to 0} (1 + 7x)^{1/x}.

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1. Vemos la indeterminación. La base tiende a 11 y el exponente 1x\dfrac{1}{x} se dispara.

2. Identificamos qué es lo que tiende a cero. Es 7x7x, así que la forma conocida pide el exponente 17x\dfrac{1}{7x}.

3. Acomodamos y compensamos. (1+7x)1/x=[(1+7x)17x]7(1 + 7x)^{1/x} = \left[(1 + 7x)^{\frac{1}{7x}}\right]^{7}

4. Tomamos límite. El corchete tiende a ee y queda e7e^{7}. Es la misma técnica que en el infinito: lo que cambia es quién tiende a cero.

Respuesta: e7e^{7}

5. Calculá lim⁡x→+∞(1+2x)x\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^{x}.

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1. Vemos la indeterminación. La base tiende a 11 y el exponente a infinito: no da 11, es indeterminación.

2. Buscamos la forma conocida. Queremos que el exponente sea el inverso de lo que se suma, o sea x2\dfrac{x}{2}.

3. Acomodamos el exponente y compensamos. (1+2x)x=[(1+2x)x/2]2\left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^{x} = \left[\left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^{x/2}\right]^{2}

4. Aplicamos el límite conocido. Lo de adentro del corchete tiende a ee, así que el resultado es e2e^{2}.

Respuesta: e2e^{2}

6. Calculá lim⁡x→+∞(1+1x)7x\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{7x}.

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1. Vemos la indeterminación. Base que tiende a 11 y exponente que tiende a infinito.

2. Reconocemos la parte conocida. (1+1x)x\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x} ya tiene la forma estándar y tiende a ee.

3. Separamos el exponente. (1+1x)7x=[(1+1x)x]7\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{7x} = \left[\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}\right]^{7}

4. Tomamos límite. El corchete tiende a ee y el exponente de afuera es la constante 77, así que el resultado es e7e^{7}.

Respuesta: e7e^{7}

7. Calculá lim⁡x→+∞(x+5x−5)x\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x + 5}{x - 5}\right)^{x}.

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1. Escribimos la base como uno más algo chico. x+5x−5=(x−5)+10x−5=1+10x−5\dfrac{x + 5}{x - 5} = \dfrac{(x - 5) + 10}{x - 5} = 1 + \dfrac{10}{x - 5}

2. Confirmamos la indeterminación. La base tiende a 11 y el exponente a infinito, así que hay que acomodar.

3. Armamos la forma conocida. El exponente que hace falta es x−510\dfrac{x - 5}{10}, así que escribimos [(1+10x−5)x−510]10xx−5\left[\left(1 + \dfrac{10}{x - 5}\right)^{\frac{x - 5}{10}}\right]^{\frac{10x}{x - 5}}.

4. Tomamos límite de cada parte. El corchete tiende a ee y el exponente de afuera tiende a 1010, porque xx−5→1\dfrac{x}{x - 5} \to 1. Queda e10e^{10}.

Respuesta: e10e^{10}

8. Calculá lim⁡x→0(1+2x)1/x\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{1/x}.

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1. Vemos la indeterminación. La base tiende a 11 y el exponente 1x\dfrac{1}{x} se dispara.

2. Identificamos qué es lo que tiende a cero. Es 2x2x, así que la forma conocida pide el exponente 12x\dfrac{1}{2x}.

3. Acomodamos y compensamos. (1+2x)1/x=[(1+2x)12x]2(1 + 2x)^{1/x} = \left[(1 + 2x)^{\frac{1}{2x}}\right]^{2}

4. Tomamos límite. El corchete tiende a ee y queda e2e^{2}. Es la misma técnica que en el infinito: lo que cambia es quién tiende a cero.

Respuesta: e2e^{2}

9. Calculá lim⁡x→+∞(1+7x)x\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{7}{x}\right)^{x}.

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1. Vemos la indeterminación. La base tiende a 11 y el exponente a infinito: no da 11, es indeterminación.

2. Buscamos la forma conocida. Queremos que el exponente sea el inverso de lo que se suma, o sea x7\dfrac{x}{7}.

3. Acomodamos el exponente y compensamos. (1+7x)x=[(1+7x)x/7]7\left(1 + \dfrac{7}{x}\right)^{x} = \left[\left(1 + \dfrac{7}{x}\right)^{x/7}\right]^{7}

4. Aplicamos el límite conocido. Lo de adentro del corchete tiende a ee, así que el resultado es e7e^{7}.

Respuesta: e7e^{7}

10. Calculá lim⁡x→+∞(1+1x)5x\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{5x}.

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1. Vemos la indeterminación. Base que tiende a 11 y exponente que tiende a infinito.

2. Reconocemos la parte conocida. (1+1x)x\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x} ya tiene la forma estándar y tiende a ee.

3. Separamos el exponente. (1+1x)5x=[(1+1x)x]5\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{5x} = \left[\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^{x}\right]^{5}

4. Tomamos límite. El corchete tiende a ee y el exponente de afuera es la constante 55, así que el resultado es e5e^{5}.

Respuesta: e5e^{5}

11. Calculá lim⁡x→+∞(x+3x−3)x\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{x + 3}{x - 3}\right)^{x}.

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1. Escribimos la base como uno más algo chico. x+3x−3=(x−3)+6x−3=1+6x−3\dfrac{x + 3}{x - 3} = \dfrac{(x - 3) + 6}{x - 3} = 1 + \dfrac{6}{x - 3}

2. Confirmamos la indeterminación. La base tiende a 11 y el exponente a infinito, así que hay que acomodar.

3. Armamos la forma conocida. El exponente que hace falta es x−36\dfrac{x - 3}{6}, así que escribimos [(1+6x−3)x−36]6xx−3\left[\left(1 + \dfrac{6}{x - 3}\right)^{\frac{x - 3}{6}}\right]^{\frac{6x}{x - 3}}.

4. Tomamos límite de cada parte. El corchete tiende a ee y el exponente de afuera tiende a 66, porque xx−3→1\dfrac{x}{x - 3} \to 1. Queda e6e^{6}.

Respuesta: e6e^{6}

12. Calculá lim⁡x→0(1+6x)1/x\lim_{x \to 0} (1 + 6x)^{1/x}.

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1. Vemos la indeterminación. La base tiende a 11 y el exponente 1x\dfrac{1}{x} se dispara.

2. Identificamos qué es lo que tiende a cero. Es 6x6x, así que la forma conocida pide el exponente 16x\dfrac{1}{6x}.

3. Acomodamos y compensamos. (1+6x)1/x=[(1+6x)16x]6(1 + 6x)^{1/x} = \left[(1 + 6x)^{\frac{1}{6x}}\right]^{6}

4. Tomamos límite. El corchete tiende a ee y queda e6e^{6}. Es la misma técnica que en el infinito: lo que cambia es quién tiende a cero.

Respuesta: e6e^{6}

Integradores de Límites y continuidad: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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