Ejercicios: El límite de sen x sobre x

\lim_{x \to 0} \operatorname{sen} x / x = 1

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x}$ .

Ver solución

1. Vemos la indeterminación. Arriba y abajo tienden a cero.

2. Comparamos el argumento del seno con el denominador. Arriba hay $2x$ y abajo solo $x$ : no coinciden, así que todavía no se puede usar el notable.

3. Acomodamos multiplicando y dividiendo por la constante que falta. $\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x} = 2 \cdot \dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}$

4. Aplicamos el notable. Como $2x \to 0$ , la fracción tiende a $1$ , y queda $2 \cdot 1 = 2$ .

Respuesta: $2$

2. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}(6x)}{\operatorname{sen}(4x)}$ .

Ver solución

1. Vemos la indeterminación. Los dos senos tienden a cero.

2. Armamos dos fracciones con la forma del notable. Multiplicamos y dividimos por $6x$ y por $4x$ : $\dfrac{\operatorname{sen}(6x)}{6x} \cdot \dfrac{4x}{\operatorname{sen}(4x)} \cdot \dfrac{6}{4}$

3. Aplicamos el notable en las dos. Cada una de las dos primeras fracciones tiende a $1$ , porque en las dos el argumento del seno coincide con lo de abajo y tiende a cero.

4. Terminamos. Queda el factor constante $\dfrac{6}{4}$ , o sea $\dfrac{3}{2}$ .

Respuesta: $\dfrac{3}{2}$

3. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{tg}(7x)}{x}$ .

Ver solución

1. Escribimos la tangente como cociente. $\operatorname{tg}(7x) = \dfrac{\operatorname{sen}(7x)}{\cos(7x)}$

2. Reescribimos toda la expresión. $\dfrac{\operatorname{sen}(7x)}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos(7x)}$

3. Acomodamos el primer factor. Multiplicando y dividiendo por $7x$ queda $7 \cdot \dfrac{\operatorname{sen}(7x)}{7x}$ , que tiende a $7$ .

4. Calculamos el segundo factor. $\cos(7x) \to \cos 0 = 1$ , así que el producto tiende a $7$ .

Respuesta: $7$

4. Calculá $\lim_{x \to \pi} \dfrac{\operatorname{sen}(5x)}{x}$ .

Ver solución

1. Chequeamos si hay indeterminación. El argumento tiende a $5 \pi$ , no a cero, así que el numerador tiende a $\operatorname{sen}(5 \pi) = 0$ y el denominador a $\pi$ .

2. Decidimos la técnica. No hay cero sobre cero, así que el límite notable no tiene nada que hacer acá: el notable vale solo cuando el argumento tiende a cero.

3. Reemplazamos directamente. $\dfrac{0}{\pi} = 0$

4. Sacamos la conclusión. Antes de usar el notable hay que verificar que efectivamente haya indeterminación.

Respuesta: $0$

5. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}(7x)}{x}$ .

Ver solución

1. Vemos la indeterminación. Arriba y abajo tienden a cero.

2. Comparamos el argumento del seno con el denominador. Arriba hay $7x$ y abajo solo $x$ : no coinciden, así que todavía no se puede usar el notable.

3. Acomodamos multiplicando y dividiendo por la constante que falta. $\dfrac{\operatorname{sen}(7x)}{x} = 7 \cdot \dfrac{\operatorname{sen}(7x)}{7x}$

4. Aplicamos el notable. Como $7x \to 0$ , la fracción tiende a $1$ , y queda $7 \cdot 1 = 7$ .

Respuesta: $7$

6. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen}(5x)}$ .

Ver solución

1. Vemos la indeterminación. Los dos senos tienden a cero.

2. Armamos dos fracciones con la forma del notable. Multiplicamos y dividimos por $3x$ y por $5x$ : $\dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{3x} \cdot \dfrac{5x}{\operatorname{sen}(5x)} \cdot \dfrac{3}{5}$

3. Aplicamos el notable en las dos. Cada una de las dos primeras fracciones tiende a $1$ , porque en las dos el argumento del seno coincide con lo de abajo y tiende a cero.

4. Terminamos. Queda el factor constante $\dfrac{3}{5}$ , o sea $\dfrac{3}{5}$ .

Respuesta: $\dfrac{3}{5}$

7. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{tg}(6x)}{x}$ .

Ver solución

1. Escribimos la tangente como cociente. $\operatorname{tg}(6x) = \dfrac{\operatorname{sen}(6x)}{\cos(6x)}$

2. Reescribimos toda la expresión. $\dfrac{\operatorname{sen}(6x)}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos(6x)}$

3. Acomodamos el primer factor. Multiplicando y dividiendo por $6x$ queda $6 \cdot \dfrac{\operatorname{sen}(6x)}{6x}$ , que tiende a $6$ .

4. Calculamos el segundo factor. $\cos(6x) \to \cos 0 = 1$ , así que el producto tiende a $6$ .

Respuesta: $6$

8. Calculá $\lim_{x \to \pi} \dfrac{\operatorname{sen}(4x)}{x}$ .

Ver solución

1. Chequeamos si hay indeterminación. El argumento tiende a $4 \pi$ , no a cero, así que el numerador tiende a $\operatorname{sen}(4 \pi) = 0$ y el denominador a $\pi$ .

2. Decidimos la técnica. No hay cero sobre cero, así que el límite notable no tiene nada que hacer acá: el notable vale solo cuando el argumento tiende a cero.

3. Reemplazamos directamente. $\dfrac{0}{\pi} = 0$

4. Sacamos la conclusión. Antes de usar el notable hay que verificar que efectivamente haya indeterminación.

Respuesta: $0$

9. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}(6x)}{x}$ .

Ver solución

1. Vemos la indeterminación. Arriba y abajo tienden a cero.

2. Comparamos el argumento del seno con el denominador. Arriba hay $6x$ y abajo solo $x$ : no coinciden, así que todavía no se puede usar el notable.

3. Acomodamos multiplicando y dividiendo por la constante que falta. $\dfrac{\operatorname{sen}(6x)}{x} = 6 \cdot \dfrac{\operatorname{sen}(6x)}{6x}$

4. Aplicamos el notable. Como $6x \to 0$ , la fracción tiende a $1$ , y queda $6 \cdot 1 = 6$ .

Respuesta: $6$

10. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}(5x)}{\operatorname{sen}(2x)}$ .

Ver solución

1. Vemos la indeterminación. Los dos senos tienden a cero.

2. Armamos dos fracciones con la forma del notable. Multiplicamos y dividimos por $5x$ y por $2x$ : $\dfrac{\operatorname{sen}(5x)}{5x} \cdot \dfrac{2x}{\operatorname{sen}(2x)} \cdot \dfrac{5}{2}$

3. Aplicamos el notable en las dos. Cada una de las dos primeras fracciones tiende a $1$ , porque en las dos el argumento del seno coincide con lo de abajo y tiende a cero.

4. Terminamos. Queda el factor constante $\dfrac{5}{2}$ , o sea $\dfrac{5}{2}$ .

Respuesta: $\dfrac{5}{2}$

11. Calculá $\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{tg}(3x)}{x}$ .

Ver solución

1. Escribimos la tangente como cociente. $\operatorname{tg}(3x) = \dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{\cos(3x)}$

2. Reescribimos toda la expresión. $\dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos(3x)}$

3. Acomodamos el primer factor. Multiplicando y dividiendo por $3x$ queda $3 \cdot \dfrac{\operatorname{sen}(3x)}{3x}$ , que tiende a $3$ .

4. Calculamos el segundo factor. $\cos(3x) \to \cos 0 = 1$ , así que el producto tiende a $3$ .

Respuesta: $3$

12. Calculá $\lim_{x \to \pi} \dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x}$ .

Ver solución

1. Chequeamos si hay indeterminación. El argumento tiende a $2 \pi$ , no a cero, así que el numerador tiende a $\operatorname{sen}(2 \pi) = 0$ y el denominador a $\pi$ .

2. Decidimos la técnica. No hay cero sobre cero, así que el límite notable no tiene nada que hacer acá: el notable vale solo cuando el argumento tiende a cero.

3. Reemplazamos directamente. $\dfrac{0}{\pi} = 0$

4. Sacamos la conclusión. Antes de usar el notable hay que verificar que efectivamente haya indeterminación.

Respuesta: $0$

Integradores de Límites y continuidad: practicá este tema junto con el resto de la unidad

← Asíntotas horizontales El número e como límite →

Las cuentas de este material están verificadas una por una. Si aun así encontrás algo raro, .