Ejercicios: Asíntotas horizontales

\lim f(x) = L

\pm \infty, y = L

es asíntota

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Hallá la asíntota horizontal de $f(x) = \dfrac{9x^{2} + 4}{6x^{2} - x}$ calculando el límite.

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1. Planteamos el límite en el infinito. La asíntota horizontal es el valor de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ , si existe.

2. Comparamos los grados. Arriba y abajo son de grado dos: empatan.

3. Dividimos por $x^{2}$ . $\dfrac{9 + \dfrac{4}{x^{2}}}{6 - \dfrac{1}{x}}$ , que tiende a $\dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$ .

4. Chequeamos el otro infinito. Hacia $-\infty$ el resultado es el mismo, porque las mismas fracciones se van a cero. La asíntota es una sola.

Respuesta: la asíntota horizontal es $y = \dfrac{3}{2}$

2. Hallá las asíntotas horizontales de $f(x) = \dfrac{\sqrt{9x^{2} + 1}}{x + 1}$ , calculando los dos límites.

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1. Miramos los grados. La raíz de un polinomio de grado dos se comporta como grado uno, igual que el denominador.

2. Calculamos hacia más infinito. Con $x > 0$ vale $x = \sqrt{x^{2}}$ , y queda $\sqrt{9 + \dfrac{1}{x^{2}}}$ dividido algo que tiende a $1$ : el límite es $3$ .

3. Calculamos hacia menos infinito. Con $x < 0$ vale $x = -\sqrt{x^{2}}$ , así que aparece un signo menos y el límite es $-3$ .

4. Escribimos las dos asíntotas. Hay una distinta de cada lado, y por eso siempre hay que calcular los dos límites.

Respuesta: $y = 3$ hacia $+\infty$ e $y = -3$ hacia $-\infty$

3. Hallá las asíntotas horizontales de $f(x) = 5^{-x} + 4$ .

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1. Calculamos el límite hacia más infinito. $5^{-x} = \dfrac{1}{5^{x}}$ , que tiende a $0$ , así que $f(x)$ tiende a $4$ .

2. Escribimos esa asíntota. La recta $y = 4$ , hacia la derecha.

3. Calculamos el límite hacia menos infinito. Con $x$ muy negativo, $-x$ es enorme y $5^{-x}$ se dispara: el límite es $+\infty$ .

4. Concluimos. De ese lado no hay asíntota horizontal. Igual que con las raíces, los dos infinitos pueden dar cosas distintas.

Respuesta: una sola: $y = 4$ hacia $+\infty$

4. Hallá la asíntota horizontal de $f(x) = \dfrac{7x^{2} + 14x}{x^{2} + 1}$ y decidí si la curva la cruza.

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1. Calculamos el límite en el infinito. Los grados empatan, así que el límite es $\dfrac{7}{1} = 7$ y la asíntota es $y = 7$ .

2. Planteamos el cruce. Cruzarla significa que exista $x$ con $f(x) = 7$ : $\dfrac{7x^{2} + 14x}{x^{2} + 1} = 7$ .

3. Resolvemos la ecuación. $7x^{2} + 14x = 7x^{2} + 7$ , o sea $14x = 7$ y $x = \dfrac{1}{2}$ .

4. Interpretamos. Hay un punto donde la curva toca la asíntota, así que sí la cruza. La asíntota horizontal describe el comportamiento lejos del origen, no es una barrera.

Respuesta: la asíntota es $y = 7$ y la curva la cruza en $x = \dfrac{1}{2}$

5. Hallá la asíntota horizontal de $f(x) = \dfrac{3x^{2} + 5}{2x^{2} - x}$ calculando el límite.

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1. Planteamos el límite en el infinito. La asíntota horizontal es el valor de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ , si existe.

2. Comparamos los grados. Arriba y abajo son de grado dos: empatan.

3. Dividimos por $x^{2}$ . $\dfrac{3 + \dfrac{5}{x^{2}}}{2 - \dfrac{1}{x}}$ , que tiende a $\dfrac{3}{2}$ .

4. Chequeamos el otro infinito. Hacia $-\infty$ el resultado es el mismo, porque las mismas fracciones se van a cero. La asíntota es una sola.

Respuesta: la asíntota horizontal es $y = \dfrac{3}{2}$

6. Hallá las asíntotas horizontales de $f(x) = \dfrac{\sqrt{16x^{2} + 1}}{x + 1}$ , calculando los dos límites.

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1. Miramos los grados. La raíz de un polinomio de grado dos se comporta como grado uno, igual que el denominador.

2. Calculamos hacia más infinito. Con $x > 0$ vale $x = \sqrt{x^{2}}$ , y queda $\sqrt{16 + \dfrac{1}{x^{2}}}$ dividido algo que tiende a $1$ : el límite es $4$ .

3. Calculamos hacia menos infinito. Con $x < 0$ vale $x = -\sqrt{x^{2}}$ , así que aparece un signo menos y el límite es $-4$ .

4. Escribimos las dos asíntotas. Hay una distinta de cada lado, y por eso siempre hay que calcular los dos límites.

Respuesta: $y = 4$ hacia $+\infty$ e $y = -4$ hacia $-\infty$

7. Hallá las asíntotas horizontales de $f(x) = 6^{-x} + 5$ .

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1. Calculamos el límite hacia más infinito. $6^{-x} = \dfrac{1}{6^{x}}$ , que tiende a $0$ , así que $f(x)$ tiende a $5$ .

2. Escribimos esa asíntota. La recta $y = 5$ , hacia la derecha.

3. Calculamos el límite hacia menos infinito. Con $x$ muy negativo, $-x$ es enorme y $6^{-x}$ se dispara: el límite es $+\infty$ .

4. Concluimos. De ese lado no hay asíntota horizontal. Igual que con las raíces, los dos infinitos pueden dar cosas distintas.

Respuesta: una sola: $y = 5$ hacia $+\infty$

8. Hallá la asíntota horizontal de $f(x) = \dfrac{3x^{2} + 6x}{x^{2} + 1}$ y decidí si la curva la cruza.

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1. Calculamos el límite en el infinito. Los grados empatan, así que el límite es $\dfrac{3}{1} = 3$ y la asíntota es $y = 3$ .

2. Planteamos el cruce. Cruzarla significa que exista $x$ con $f(x) = 3$ : $\dfrac{3x^{2} + 6x}{x^{2} + 1} = 3$ .

3. Resolvemos la ecuación. $3x^{2} + 6x = 3x^{2} + 3$ , o sea $6x = 3$ y $x = \dfrac{1}{2}$ .

4. Interpretamos. Hay un punto donde la curva toca la asíntota, así que sí la cruza. La asíntota horizontal describe el comportamiento lejos del origen, no es una barrera.

Respuesta: la asíntota es $y = 3$ y la curva la cruza en $x = \dfrac{1}{2}$

9. Hallá la asíntota horizontal de $f(x) = \dfrac{4x^{2} + 1}{7x^{2} - x}$ calculando el límite.

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1. Planteamos el límite en el infinito. La asíntota horizontal es el valor de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ , si existe.

2. Comparamos los grados. Arriba y abajo son de grado dos: empatan.

3. Dividimos por $x^{2}$ . $\dfrac{4 + \dfrac{1}{x^{2}}}{7 - \dfrac{1}{x}}$ , que tiende a $\dfrac{4}{7}$ .

4. Chequeamos el otro infinito. Hacia $-\infty$ el resultado es el mismo, porque las mismas fracciones se van a cero. La asíntota es una sola.

Respuesta: la asíntota horizontal es $y = \dfrac{4}{7}$

10. Hallá las asíntotas horizontales de $f(x) = \dfrac{\sqrt{49x^{2} + 1}}{x + 1}$ , calculando los dos límites.

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1. Miramos los grados. La raíz de un polinomio de grado dos se comporta como grado uno, igual que el denominador.

2. Calculamos hacia más infinito. Con $x > 0$ vale $x = \sqrt{x^{2}}$ , y queda $\sqrt{49 + \dfrac{1}{x^{2}}}$ dividido algo que tiende a $1$ : el límite es $7$ .

3. Calculamos hacia menos infinito. Con $x < 0$ vale $x = -\sqrt{x^{2}}$ , así que aparece un signo menos y el límite es $-7$ .

4. Escribimos las dos asíntotas. Hay una distinta de cada lado, y por eso siempre hay que calcular los dos límites.

Respuesta: $y = 7$ hacia $+\infty$ e $y = -7$ hacia $-\infty$

11. Hallá las asíntotas horizontales de $f(x) = 4^{-x} + 2$ .

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1. Calculamos el límite hacia más infinito. $4^{-x} = \dfrac{1}{4^{x}}$ , que tiende a $0$ , así que $f(x)$ tiende a $2$ .

2. Escribimos esa asíntota. La recta $y = 2$ , hacia la derecha.

3. Calculamos el límite hacia menos infinito. Con $x$ muy negativo, $-x$ es enorme y $4^{-x}$ se dispara: el límite es $+\infty$ .

4. Concluimos. De ese lado no hay asíntota horizontal. Igual que con las raíces, los dos infinitos pueden dar cosas distintas.

Respuesta: una sola: $y = 2$ hacia $+\infty$

12. Hallá la asíntota horizontal de $f(x) = \dfrac{5x^{2} + 10x}{x^{2} + 1}$ y decidí si la curva la cruza.

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1. Calculamos el límite en el infinito. Los grados empatan, así que el límite es $\dfrac{5}{1} = 5$ y la asíntota es $y = 5$ .

2. Planteamos el cruce. Cruzarla significa que exista $x$ con $f(x) = 5$ : $\dfrac{5x^{2} + 10x}{x^{2} + 1} = 5$ .

3. Resolvemos la ecuación. $5x^{2} + 10x = 5x^{2} + 5$ , o sea $10x = 5$ y $x = \dfrac{1}{2}$ .

4. Interpretamos. Hay un punto donde la curva toca la asíntota, así que sí la cruza. La asíntota horizontal describe el comportamiento lejos del origen, no es una barrera.

Respuesta: la asíntota es $y = 5$ y la curva la cruza en $x = \dfrac{1}{2}$

Integradores de Límites y continuidad: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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