Propiedades y cálculo directo

El límite se lleva bien con las operaciones. El límite de una suma es la suma de los límites, el de un producto es el producto, y lo mismo con la resta y el cociente. Eso permite partir una expresión complicada en pedazos y calcular cada uno por separado.

La única propiedad con condición es la del cociente: el límite del denominador no puede ser cero. Cuando eso pasa, la propiedad no se aplica y hay que trabajar la expresión.

De estas propiedades sale el cálculo directo. Si la función está formada por sumas, productos y cocientes de funciones conocidas, y al reemplazar el punto no aparece ningún problema, el límite es simplemente el valor de reemplazar.

Esa es la razón por la que la mayoría de los límites se resuelven en un renglón. Los ejercicios largos son los que caen justo en los casos donde el reemplazo directo falla.

si f es continua, el límite se calcula reemplazando

Cuándo se usa

Es el primer intento en cualquier límite: reemplazá el punto y fijate qué sale. Si sale un número, listo. Si sale una división por cero o una indeterminación, hay que aplicar alguna técnica.

Ejemplo 1

Calcular el límite de $(x^{2} + 3x)/(x + 5)$ cuando $x$ tiende a $2$ .

Verificamos el denominador. En $x = 2$ vale $7$ , distinto de cero: se puede reemplazar.
Calculamos el numerador. $4 + 6 = 10$
Armamos el cociente. $10/7$
Escribimos el resultado. No hace falta trabajar nada más.
Respuesta: el límite vale $10/7$

Ejemplo 2

Calcular el límite de $e^x \cdot \cos x$ cuando $x$ tiende a $0$ .

Verificamos que las dos sean continuas. La exponencial y el coseno son continuas en todo $\mathbb{R}$ .
Aplicamos la propiedad del producto. El límite del producto es el producto de los límites.
Calculamos cada uno. $e^{0} = 1$ y $\cos 0 = 1$ .
Multiplicamos. $1 \cdot 1 = 1$
Respuesta: el límite vale $1$

Error típico

Aplicar la propiedad del cociente sin verificar el denominador. Si tiende a cero, la propiedad no se puede usar y hay que analizar el caso por separado.

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

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