La indeterminación cero sobre cero

Cuando al reemplazar se anulan el numerador y el denominador a la vez, el resultado no dice nada. Por eso se llama indeterminación: el límite puede dar cualquier cosa y hay que averiguarlo trabajando la expresión.

Que los dos se anulen en el mismo punto significa que comparten un factor, y ese factor común es el que causa el problema. Toda la técnica consiste en encontrarlo y simplificarlo.

Al simplificar se obtiene una función nueva que coincide con la original en todos lados menos en el punto conflictivo. Como el límite no mira lo que pasa exactamente en el punto, las dos tienen el mismo límite, y la nueva sí se puede evaluar reemplazando.

Las herramientas para encontrar el factor común son tres, según cómo esté escrita la expresión: factorizar si hay polinomios, racionalizar si hay raíces, y usar límites notables si aparecen funciones trigonométricas o exponenciales.

0 / 0

no tiene valor: hay que transformar

Cuándo se usa

Cuando al reemplazar dan cero arriba y abajo. Nunca dejes la respuesta como cero sobre cero: eso no es un resultado sino la señal de que hay trabajo por hacer. Mirá qué tipo de expresión es para elegir la técnica.

Ejemplo 1

Calcular el límite de $(x^{2} - 1)/(x - 1)$ cuando $x$ tiende a $1$ .

Reemplazamos para identificar el caso. Arriba $0$ y abajo $0$ : indeterminación.
Buscamos el factor que se anula en los dos. Es $x - 1$ , porque $x = 1$ anula las dos partes.
Factorizamos el numerador. $x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)$
Cancelamos. $(x + 1)$
Reemplazamos en lo que quedó. $1 + 1 = 2$
Respuesta: el límite vale $2$

Ejemplo 2

Mostrar que $x^{2}/x$ y $x/x^{2}$ dan cosas distintas en el cero.

Identificamos el caso en las dos. Las dos dan $0/0$ al reemplazar.
Simplificamos la primera. $x^{2}/x = x$ , que tiende a $0$ .
Simplificamos la segunda. $x/x^{2} = 1/x$ , que se dispara.
Comparamos. Misma forma indeterminada, resultados completamente distintos.
Respuesta: la primera vale $0$ y la segunda se dispara

Error típico

Contestar que $0/0$ vale $1$ porque arriba y abajo son iguales, o que vale $0$ porque arriba hay un cero. No vale nada: depende de la función.

Practicar

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Otros subtemas de Límites y continuidad

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