Ejercicios: La indeterminación cero sobre cero

2. Reemplazamos abajo. $4 - 4 = 0$

3. Clasificamos. Cero sobre cero es indeterminación: el resultado puede ser cualquier cosa y hay que trabajar la expresión.

4. Elegimos la técnica. Arriba y abajo hay polinomios, así que corresponde factorizar y simplificar el factor común, que necesariamente es $(x - 4)$.

Respuesta: es indeterminación de cero sobre cero, y se salva factorizando

2. Calculamos el primero. Simplificando la $x$ queda la constante $\dfrac{4}{6}$, así que el límite es $\dfrac{2}{3}$.

3. Calculamos el segundo. Queda $\dfrac{4}{6}x$, que tiende a $0$.

4. Calculamos el tercero. Queda $\dfrac{4}{6x}$, que es un número sobre cero: se dispara y el límite no existe. Tres veces la misma forma y tres resultados distintos: por eso se llama indeterminación.

Respuesta: dan $\dfrac{2}{3}$, $0$ y un límite que no existe

2. Identificamos el factor común. Los dos se anulan por el mismo motivo: el factor $x$ está arriba y abajo.

3. Simplificamos. Para $x \neq 0$ vale $\dfrac{x - 1}{x + 6}$, que es otra función, pero coincide con la original en todos los puntos salvo en el cero.

4. Evaluamos la simplificada. Como el límite no mira el valor exacto en el punto, las dos tienen el mismo límite: $\dfrac{-1}{6} = - \dfrac{1}{6}$.

Respuesta: $\lim_{x \to 0} \dfrac{x(x - 1)}{x(x + 6)} = - \dfrac{1}{6}$

2. Recordamos qué mira el límite. El límite estudia valores cercanos a $5$, nunca el valor exacto en $5$. Para todo $x \neq 5$ el factor no es cero y la simplificación es legítima.

3. Comparamos las dos funciones. La original y $x + 1$ coinciden en todos los puntos menos en $5$, donde la original no está definida. Como difieren solo ahí, tienen el mismo límite.

4. Calculamos. $\lim_{x \to 5} (x + 1) = 6$. Se comprueba evaluando cerca: en $x = 5 + 0{,}01$ la original vale $6{,}01$.

Respuesta: porque las dos funciones difieren solo en $x = 5$, y el límite vale $6$

2. Reemplazamos abajo. $0$

3. Clasificamos. Cero sobre cero: hay indeterminación.

4. Elegimos la técnica. No hay polinomios que factorizar ni raíces que racionalizar: hay una función trigonométrica, así que corresponde usar el límite notable del seno sobre su argumento.

Respuesta: es indeterminación de cero sobre cero, y se salva con el límite notable del seno

2. Calculamos el primero. Simplificando la $x$ queda la constante $\dfrac{6}{1}$, así que el límite es $6$.

3. Calculamos el segundo. Queda $\dfrac{6}{1}x$, que tiende a $0$.

4. Calculamos el tercero. Queda $\dfrac{6}{x}$, que es un número sobre cero: se dispara y el límite no existe. Tres veces la misma forma y tres resultados distintos: por eso se llama indeterminación.

Respuesta: dan $6$, $0$ y un límite que no existe

2. Identificamos el factor común. Los dos se anulan por el mismo motivo: el factor $x$ está arriba y abajo.

3. Simplificamos. Para $x \neq 0$ vale $\dfrac{x - 2}{x + 5}$, que es otra función, pero coincide con la original en todos los puntos salvo en el cero.

4. Evaluamos la simplificada. Como el límite no mira el valor exacto en el punto, las dos tienen el mismo límite: $\dfrac{-2}{5} = - \dfrac{2}{5}$.

Respuesta: $\lim_{x \to 0} \dfrac{x(x - 2)}{x(x + 5)} = - \dfrac{2}{5}$

2. Recordamos qué mira el límite. El límite estudia valores cercanos a $4$, nunca el valor exacto en $4$. Para todo $x \neq 4$ el factor no es cero y la simplificación es legítima.

3. Comparamos las dos funciones. La original y $x + 1$ coinciden en todos los puntos menos en $4$, donde la original no está definida. Como difieren solo ahí, tienen el mismo límite.

4. Calculamos. $\lim_{x \to 4} (x + 1) = 5$. Se comprueba evaluando cerca: en $x = 4 + 0{,}01$ la original vale $5{,}01$.

Respuesta: porque las dos funciones difieren solo en $x = 4$, y el límite vale $5$

2. Reemplazamos abajo. $1 - 1 = 0$

3. Clasificamos. Es cero sobre cero, así que hay indeterminación.

4. Elegimos la técnica. Aparece una raíz, así que factorizar no alcanza: corresponde racionalizar multiplicando y dividiendo por el conjugado.

Respuesta: es indeterminación de cero sobre cero, y se salva racionalizando

2. Calculamos el primero. Simplificando la $x$ queda la constante $\dfrac{3}{4}$, así que el límite es $\dfrac{3}{4}$.

3. Calculamos el segundo. Queda $\dfrac{3}{4}x$, que tiende a $0$.

4. Calculamos el tercero. Queda $\dfrac{3}{4x}$, que es un número sobre cero: se dispara y el límite no existe. Tres veces la misma forma y tres resultados distintos: por eso se llama indeterminación.

Respuesta: dan $\dfrac{3}{4}$, $0$ y un límite que no existe

2. Identificamos el factor común. Los dos se anulan por el mismo motivo: el factor $x$ está arriba y abajo.

3. Simplificamos. Para $x \neq 0$ vale $\dfrac{x - 3}{x + 1}$, que es otra función, pero coincide con la original en todos los puntos salvo en el cero.

4. Evaluamos la simplificada. Como el límite no mira el valor exacto en el punto, las dos tienen el mismo límite: $\dfrac{-3}{1} = -3$.

Respuesta: $\lim_{x \to 0} \dfrac{x(x - 3)}{x(x + 1)} = -3$

2. Recordamos qué mira el límite. El límite estudia valores cercanos a $6$, nunca el valor exacto en $6$. Para todo $x \neq 6$ el factor no es cero y la simplificación es legítima.

3. Comparamos las dos funciones. La original y $x + 1$ coinciden en todos los puntos menos en $6$, donde la original no está definida. Como difieren solo ahí, tienen el mismo límite.

4. Calculamos. $\lim_{x \to 6} (x + 1) = 7$. Se comprueba evaluando cerca: en $x = 6 + 0{,}01$ la original vale $7{,}01$.

Respuesta: porque las dos funciones difieren solo en $x = 6$, y el límite vale $7$