La definición formal de límite

La definición formal convierte la idea de acercarse en algo que se puede demostrar. Es la que se usa cuando el ejercicio pide justificar un límite en vez de calcularlo.

Se plantea como un desafío entre dos. Uno propone una tolerancia para la salida: quiere que la función quede a menos de cierta distancia del límite. Esa distancia se llama épsilon. El otro tiene que responder con una tolerancia para la entrada, llamada delta, tal que si la variable está a menos de delta del punto, la función queda dentro de lo pedido.

El límite existe cuando ese desafío se puede ganar siempre, por chico que sea el épsilon que propongan.

El orden importa: primero viene épsilon, que lo elige el que desafía, y después delta, que se construye en función de épsilon. Por eso delta casi siempre queda escrito con épsilon adentro.

Para demostrar un límite se arranca de la desigualdad que se quiere lograr, se la trabaja hasta que aparezca la distancia de la variable al punto, y de ahí se lee cuánto tiene que valer delta.

Un detalle: el punto se excluye. La definición pide que la variable esté cerca pero no sea el punto, porque el límite no depende de lo que pase exactamente ahí.

\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: \ 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon

Cuándo se usa

Cuando el ejercicio pide demostrar un límite por definición o hallar un delta para un épsilon dado. Trabajá la desigualdad hasta despejar la distancia al punto: lo que quede del otro lado es el delta.

Ejemplo 1

Demostrar por definición que $\lim_{x \to 2} 3x = 6$ .

Escribimos lo que se quiere lograr. Pedimos $|3x - 6| < \varepsilon$ .
Sacamos factor común. Queda $3|x - 2| < \varepsilon$ .
Despejamos la distancia de $x$ al punto. Queda $|x-2| < \frac{\varepsilon}{3}$ .
Leemos delta de ahí. Tomamos $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$ .
Verificamos el razonamiento al derecho. Si $|x-2| < \delta$ , multiplicando por $3$ se obtiene lo pedido.
Respuesta: $\delta = \frac{\varepsilon}{3}$

Ejemplo 2

Hallar un delta que sirva para $\lim_{x \to 1} (2x+1) = 3$ con $\varepsilon = 0{,}1$ .

Escribimos la condición. Pedimos $|2x + 1 - 3| < 0{,}1$ .
Simplificamos. Queda $|2x - 2| < 0{,}1$ , o sea $2|x-1| < 0{,}1$ .
Despejamos. Queda $|x-1| < 0{,}05$ .
Respuesta: $\delta = 0{,}05$

Error típico

Elegir delta primero y después ver qué épsilon sale. El orden es al revés: hay que servir cualquier épsilon que propongan.

Practicar

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