Ejercicios: La definición formal de límite

\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: \ 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Para $f(x) = 3 x - 2$ , que tiene límite $1$ en $x = 1$ , hallá un $\delta$ que sirva para $\varepsilon = 0{,}1$ .

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1. Escribimos qué queremos lograr. $|f(x) - 1| < 0{,}1$ , o sea $|3 x - 2 - 1| < 0{,}1$ .

2. Simplificamos el módulo. $3 x - 2 - 1 = 3(x - 1)$ , así que la condición es $3|x - 1| < 0{,}1$ .

3. Despejamos la distancia al punto. $|x - 1| < \dfrac{0{,}1}{3} = 0{,}0333$

4. Elegimos el delta y verificamos. Tomando $\delta = 0{,}0333$ , cualquier $x$ a menos de esa distancia de $1$ cumple lo pedido. Cualquier delta más chico también sirve.

Respuesta: $\delta = 0{,}0333$

2. Demostrá por definición que $\lim_{x \to 4} \left(2 x - 5\right) = 3$ .

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1. Escribimos qué hay que probar. Dado cualquier $\varepsilon > 0$ , hay que exhibir un $\delta > 0$ tal que si $0 < |x - 4| < \delta$ , entonces $|f(x) - 3| < \varepsilon$ .

2. Trabajamos la desigualdad de la salida. $|2 x - 5 - 3| = |2(x - 4)| = 2|x - 4|$

3. Despejamos la distancia a $x = 4$ . Queremos $2|x - 4| < \varepsilon$ , o sea $|x - 4| < \dfrac{\varepsilon}{2}$ .

4. Elegimos el delta. Tomamos $\delta = \dfrac{\varepsilon}{2}$ . Con esa elección la implicación vale para cualquier $\varepsilon$ , así que el límite queda demostrado. Primero viene épsilon y después se construye delta.

Respuesta: $\delta = \dfrac{\varepsilon}{2}$ sirve para todo $\varepsilon > 0$

3. Sea $f(x) = x + 2$ si $x < 3$ y $f(x) = x + 9$ si $x \geq 3$ . Mostrá con un $\varepsilon$ concreto que $\lim_{x \to 3} f(x)$ no es $12$ .

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1. Escribimos qué habría que cumplir. Si el límite fuera $12$ , para cada $\varepsilon$ debería existir un $\delta$ tal que todos los $x$ cercanos a $3$ den valores a menos de $\varepsilon$ de $12$ .

2. Elegimos un épsilon chico. Tomamos $\varepsilon = 0{,}5$ .

3. Buscamos puntos que fallen. Cualquier $x$ apenas menor que $3$ da un valor cercano a $5$ , y $|5 - (12)| = 7$ , mucho mayor que $0{,}5$ .

4. Concluimos. Por chico que sea el delta, siempre hay puntos de la izquierda adentro que fallan, así que el límite no puede ser $12$ . Es más: no existe.

Respuesta: con $\varepsilon = 0{,}5$ falla, así que el límite no es $12$

4. Traducí a intervalos qué dice $0 < |x + 0| < 0{,}2$ y decidí si $x = 0{,}1$ cumple esa condición.

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1. Interpretamos el módulo. $|x + 0|$ es la distancia entre $x$ y $0$ , así que la condición pide que esa distancia sea menor que $0{,}2$ .

2. Escribimos el intervalo. $x$ está entre $-0{,}2$ y $0{,}2$ .

3. Interpretamos el cero de la izquierda. $0 < |x + 0|$ excluye el propio punto $0$ , porque el límite nunca mira lo que pasa exactamente ahí.

4. Chequeamos el valor propuesto. La distancia de $0{,}1$ a $0$ es $0{,}1$ , que es menor que $0{,}2$ y distinta de cero, así que cumple.

Respuesta: es el intervalo $(-0{,}2, 0{,}2)$ sin el punto $0$ , y $x = 0{,}1$ cumple

5. Para $f(x) = 2 x + 1$ , que tiene límite $7$ en $x = 3$ , hallá un $\delta$ que sirva para $\varepsilon = 0{,}1$ .

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1. Escribimos qué queremos lograr. $|f(x) - 7| < 0{,}1$ , o sea $|2 x + 1 - 7| < 0{,}1$ .

2. Simplificamos el módulo. $2 x + 1 - 7 = 2(x - 3)$ , así que la condición es $2|x - 3| < 0{,}1$ .

3. Despejamos la distancia al punto. $|x - 3| < \dfrac{0{,}1}{2} = 0{,}05$

4. Elegimos el delta y verificamos. Tomando $\delta = 0{,}05$ , cualquier $x$ a menos de esa distancia de $3$ cumple lo pedido. Cualquier delta más chico también sirve.

Respuesta: $\delta = 0{,}05$

6. Demostrá por definición que $\lim_{x \to 3} \left(6 x + 2\right) = 20$ .

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1. Escribimos qué hay que probar. Dado cualquier $\varepsilon > 0$ , hay que exhibir un $\delta > 0$ tal que si $0 < |x - 3| < \delta$ , entonces $|f(x) - 20| < \varepsilon$ .

2. Trabajamos la desigualdad de la salida. $|6 x + 2 - 20| = |6(x - 3)| = 6|x - 3|$

3. Despejamos la distancia a $x = 3$ . Queremos $6|x - 3| < \varepsilon$ , o sea $|x - 3| < \dfrac{\varepsilon}{6}$ .

4. Elegimos el delta. Tomamos $\delta = \dfrac{\varepsilon}{6}$ . Con esa elección la implicación vale para cualquier $\varepsilon$ , así que el límite queda demostrado. Primero viene épsilon y después se construye delta.

Respuesta: $\delta = \dfrac{\varepsilon}{6}$ sirve para todo $\varepsilon > 0$

7. Sea $f(x) = x + 2$ si $x < 4$ y $f(x) = x + 7$ si $x \geq 4$ . Mostrá con un $\varepsilon$ concreto que $\lim_{x \to 4} f(x)$ no es $11$ .

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1. Escribimos qué habría que cumplir. Si el límite fuera $11$ , para cada $\varepsilon$ debería existir un $\delta$ tal que todos los $x$ cercanos a $4$ den valores a menos de $\varepsilon$ de $11$ .

2. Elegimos un épsilon chico. Tomamos $\varepsilon = 0{,}5$ .

3. Buscamos puntos que fallen. Cualquier $x$ apenas menor que $4$ da un valor cercano a $6$ , y $|6 - (11)| = 5$ , mucho mayor que $0{,}5$ .

4. Concluimos. Por chico que sea el delta, siempre hay puntos de la izquierda adentro que fallan, así que el límite no puede ser $11$ . Es más: no existe.

Respuesta: con $\varepsilon = 0{,}5$ falla, así que el límite no es $11$

8. Traducí a intervalos qué dice $0 < |x - 2| < 0{,}1$ y decidí si $x = 2{,}05$ cumple esa condición.

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1. Interpretamos el módulo. $|x - 2|$ es la distancia entre $x$ y $2$ , así que la condición pide que esa distancia sea menor que $0{,}1$ .

2. Escribimos el intervalo. $x$ está entre $1{,}9$ y $2{,}1$ .

3. Interpretamos el cero de la izquierda. $0 < |x - 2|$ excluye el propio punto $2$ , porque el límite nunca mira lo que pasa exactamente ahí.

4. Chequeamos el valor propuesto. La distancia de $2{,}05$ a $2$ es $0{,}05$ , que es menor que $0{,}1$ y distinta de cero, así que cumple.

Respuesta: es el intervalo $(1{,}9, 2{,}1)$ sin el punto $2$ , y $x = 2{,}05$ cumple

9. Para $f(x) = 2 x + 7$ , que tiene límite $15$ en $x = 4$ , hallá un $\delta$ que sirva para $\varepsilon = 0{,}1$ .

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1. Escribimos qué queremos lograr. $|f(x) - 15| < 0{,}1$ , o sea $|2 x + 7 - 15| < 0{,}1$ .

2. Simplificamos el módulo. $2 x + 7 - 15 = 2(x - 4)$ , así que la condición es $2|x - 4| < 0{,}1$ .

3. Despejamos la distancia al punto. $|x - 4| < \dfrac{0{,}1}{2} = 0{,}05$

4. Elegimos el delta y verificamos. Tomando $\delta = 0{,}05$ , cualquier $x$ a menos de esa distancia de $4$ cumple lo pedido. Cualquier delta más chico también sirve.

Respuesta: $\delta = 0{,}05$

10. Demostrá por definición que $\lim_{x \to 1} \left(4 x + 3\right) = 7$ .

Ver solución

1. Escribimos qué hay que probar. Dado cualquier $\varepsilon > 0$ , hay que exhibir un $\delta > 0$ tal que si $0 < |x - 1| < \delta$ , entonces $|f(x) - 7| < \varepsilon$ .

2. Trabajamos la desigualdad de la salida. $|4 x + 3 - 7| = |4(x - 1)| = 4|x - 1|$

3. Despejamos la distancia a $x = 1$ . Queremos $4|x - 1| < \varepsilon$ , o sea $|x - 1| < \dfrac{\varepsilon}{4}$ .

4. Elegimos el delta. Tomamos $\delta = \dfrac{\varepsilon}{4}$ . Con esa elección la implicación vale para cualquier $\varepsilon$ , así que el límite queda demostrado. Primero viene épsilon y después se construye delta.

Respuesta: $\delta = \dfrac{\varepsilon}{4}$ sirve para todo $\varepsilon > 0$

11. Sea $f(x) = x + 4$ si $x < -1$ y $f(x) = x + 1$ si $x \geq -1$ . Mostrá con un $\varepsilon$ concreto que $\lim_{x \to -1} f(x)$ no es $0$ .

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1. Escribimos qué habría que cumplir. Si el límite fuera $0$ , para cada $\varepsilon$ debería existir un $\delta$ tal que todos los $x$ cercanos a $-1$ den valores a menos de $\varepsilon$ de $0$ .

2. Elegimos un épsilon chico. Tomamos $\varepsilon = 0{,}5$ .

3. Buscamos puntos que fallen. Cualquier $x$ apenas menor que $-1$ da un valor cercano a $3$ , y $|3 - (0)| = 3$ , mucho mayor que $0{,}5$ .

4. Concluimos. Por chico que sea el delta, siempre hay puntos de la izquierda adentro que fallan, así que el límite no puede ser $0$ . Es más: no existe.

Respuesta: con $\varepsilon = 0{,}5$ falla, así que el límite no es $0$

12. Traducí a intervalos qué dice $0 < |x + 1| < 0{,}5$ y decidí si $x = -0{,}75$ cumple esa condición.

Ver solución

1. Interpretamos el módulo. $|x + 1|$ es la distancia entre $x$ y $-1$ , así que la condición pide que esa distancia sea menor que $0{,}5$ .

2. Escribimos el intervalo. $x$ está entre $-1{,}5$ y $-0{,}5$ .

3. Interpretamos el cero de la izquierda. $0 < |x + 1|$ excluye el propio punto $-1$ , porque el límite nunca mira lo que pasa exactamente ahí.

4. Chequeamos el valor propuesto. La distancia de $-0{,}75$ a $-1$ es $0{,}25$ , que es menor que $0{,}5$ y distinta de cero, así que cumple.

Respuesta: es el intervalo $(-1{,}5, -0{,}5)$ sin el punto $-1$ , y $x = -0{,}75$ cumple

Integradores de Límites y continuidad: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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