Método

Ejercicios: Tasa de variación media

TVM =[f(b)−f(a)]/(b−a)= [ f(b) - f(a) ] / (b - a)

Si no te acordás cómo se usa, repasá la teoría.

Las 12 actividades recorren los distintos tipos de ejercicio del tema, con tres variantes de cada uno. Si te trabás en una, mirá la solución y seguí con la siguiente.

1. Calculá la tasa de variación media de f(x)=2x2−3xf(x) = 2 x^{2} - 3 x en el intervalo [0,3][0, 3].

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1. Escribimos la fórmula. TVM=f(3)−f(0)3−0\text{TVM} = \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0}

2. Evaluamos en los dos extremos. f(0)=2(0)2−3(0)=0f(0) = 2 (0)^{2} - 3 (0) = 0 y f(3)=2(3)2−3(3)=9f(3) = 2 (3)^{2} - 3 (3) = 9.

3. Reemplazamos. 9−(0)3=93=3\dfrac{9 - (0)}{3} = \dfrac{9}{3} = 3

4. Interpretamos. En ese tramo la función cambió 33 unidades por cada unidad avanzada, en promedio. Es la pendiente de la secante que une los dos puntos.

Respuesta: TVM=3\text{TVM} = 3

2. Un móvil recorre s(t)=5t2+2ts(t) = 5 t^{2} + 2 t metros a los tt segundos. Calculá su velocidad media entre los 11 y los 33 segundos.

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1. Identificamos qué se pide. La velocidad media es la tasa de variación media de la posición respecto del tiempo.

2. Calculamos las dos posiciones. s(1)=7s(1) = 7 metros y s(3)=51s(3) = 51 metros.

3. Aplicamos la fórmula. 51−73−1=442=22\dfrac{51 - 7}{3 - 1} = \dfrac{44}{2} = 22

4. Interpretamos con unidades. La velocidad media fue de 2222 metros por segundo. Es un promedio del tramo: adentro pudo ir más rápido o más lento.

Respuesta: 2222 metros por segundo

3. Compará la tasa de variación media de f(x)=3x2f(x) = 3 x^{2} en [0,2][0, 2] y en [2,4][2, 4].

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1. Calculamos la del primer intervalo. f(2)−f(0)2=12−02=6\dfrac{f(2) - f(0)}{2} = \dfrac{12 - 0}{2} = 6

2. Calculamos la del segundo. f(4)−f(2)2=48−122=18\dfrac{f(4) - f(2)}{2} = \dfrac{48 - 12}{2} = 18

3. Comparamos. La segunda es mayor: 1818 contra 66.

4. Interpretamos. Los dos intervalos miden lo mismo, pero la función sube más en el segundo. La tasa media depende del tramo elegido, no es una propiedad global de la función.

Respuesta: 66 en el primero y 1818 en el segundo: crece más rápido en el segundo

4. Hallá b>0b > 0 para que la tasa de variación media de f(x)=x2f(x) = x^{2} en [0,b][0, b] valga 77.

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1. Escribimos la tasa en función de bb. f(b)−f(0)b−0=b2−0b\dfrac{f(b) - f(0)}{b - 0} = \dfrac{b^{2} - 0}{b}

2. Simplificamos. Para b≠0b \neq 0 queda bb.

3. Planteamos la ecuación. b=7b = 7

4. Despejamos y verificamos. b=7b = 7. Con ese valor, f(7)=49f(7) = 49 y la tasa da 497=7\dfrac{49}{7} = 7.

Respuesta: b=7b = 7

5. Calculá la tasa de variación media de f(x)=x2+5xf(x) = x^{2} + 5 x en el intervalo [2,5][2, 5].

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1. Escribimos la fórmula. TVM=f(5)−f(2)5−2\text{TVM} = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2}

2. Evaluamos en los dos extremos. f(2)=(2)2+5(2)=14f(2) = (2)^{2} + 5 (2) = 14 y f(5)=(5)2+5(5)=50f(5) = (5)^{2} + 5 (5) = 50.

3. Reemplazamos. 50−(14)3=363=12\dfrac{50 - (14)}{3} = \dfrac{36}{3} = 12

4. Interpretamos. En ese tramo la función cambió 1212 unidades por cada unidad avanzada, en promedio. Es la pendiente de la secante que une los dos puntos.

Respuesta: TVM=12\text{TVM} = 12

6. Un móvil recorre s(t)=2t2+8ts(t) = 2 t^{2} + 8 t metros a los tt segundos. Calculá su velocidad media entre los 00 y los 33 segundos.

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1. Identificamos qué se pide. La velocidad media es la tasa de variación media de la posición respecto del tiempo.

2. Calculamos las dos posiciones. s(0)=0s(0) = 0 metros y s(3)=42s(3) = 42 metros.

3. Aplicamos la fórmula. 42−03−0=423=14\dfrac{42 - 0}{3 - 0} = \dfrac{42}{3} = 14

4. Interpretamos con unidades. La velocidad media fue de 1414 metros por segundo. Es un promedio del tramo: adentro pudo ir más rápido o más lento.

Respuesta: 1414 metros por segundo

7. Compará la tasa de variación media de f(x)=6x2f(x) = 6 x^{2} en [0,2][0, 2] y en [2,4][2, 4].

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1. Calculamos la del primer intervalo. f(2)−f(0)2=24−02=12\dfrac{f(2) - f(0)}{2} = \dfrac{24 - 0}{2} = 12

2. Calculamos la del segundo. f(4)−f(2)2=96−242=36\dfrac{f(4) - f(2)}{2} = \dfrac{96 - 24}{2} = 36

3. Comparamos. La segunda es mayor: 3636 contra 1212.

4. Interpretamos. Los dos intervalos miden lo mismo, pero la función sube más en el segundo. La tasa media depende del tramo elegido, no es una propiedad global de la función.

Respuesta: 1212 en el primero y 3636 en el segundo: crece más rápido en el segundo

8. Hallá b>0b > 0 para que la tasa de variación media de f(x)=3x2f(x) = 3 x^{2} en [0,b][0, b] valga 1212.

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1. Escribimos la tasa en función de bb. f(b)−f(0)b−0=3b2−0b\dfrac{f(b) - f(0)}{b - 0} = \dfrac{3b^{2} - 0}{b}

2. Simplificamos. Para b≠0b \neq 0 queda 3b3b.

3. Planteamos la ecuación. 3b=123b = 12

4. Despejamos y verificamos. b=4b = 4. Con ese valor, f(4)=48f(4) = 48 y la tasa da 484=12\dfrac{48}{4} = 12.

Respuesta: b=4b = 4

9. Calculá la tasa de variación media de f(x)=x2−6xf(x) = x^{2} - 6 x en el intervalo [0,4][0, 4].

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1. Escribimos la fórmula. TVM=f(4)−f(0)4−0\text{TVM} = \dfrac{f(4) - f(0)}{4 - 0}

2. Evaluamos en los dos extremos. f(0)=(0)2−6(0)=0f(0) = (0)^{2} - 6 (0) = 0 y f(4)=(4)2−6(4)=−8f(4) = (4)^{2} - 6 (4) = -8.

3. Reemplazamos. −8−(0)4=−84=−2\dfrac{-8 - (0)}{4} = \dfrac{-8}{4} = -2

4. Interpretamos. En ese tramo la función cambió −2-2 unidades por cada unidad avanzada, en promedio. Es la pendiente de la secante que une los dos puntos.

Respuesta: TVM=−2\text{TVM} = -2

10. Un móvil recorre s(t)=3t2+6ts(t) = 3 t^{2} + 6 t metros a los tt segundos. Calculá su velocidad media entre los 22 y los 44 segundos.

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1. Identificamos qué se pide. La velocidad media es la tasa de variación media de la posición respecto del tiempo.

2. Calculamos las dos posiciones. s(2)=24s(2) = 24 metros y s(4)=72s(4) = 72 metros.

3. Aplicamos la fórmula. 72−244−2=482=24\dfrac{72 - 24}{4 - 2} = \dfrac{48}{2} = 24

4. Interpretamos con unidades. La velocidad media fue de 2424 metros por segundo. Es un promedio del tramo: adentro pudo ir más rápido o más lento.

Respuesta: 2424 metros por segundo

11. Compará la tasa de variación media de f(x)=5x2f(x) = 5 x^{2} en [0,2][0, 2] y en [2,4][2, 4].

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1. Calculamos la del primer intervalo. f(2)−f(0)2=20−02=10\dfrac{f(2) - f(0)}{2} = \dfrac{20 - 0}{2} = 10

2. Calculamos la del segundo. f(4)−f(2)2=80−202=30\dfrac{f(4) - f(2)}{2} = \dfrac{80 - 20}{2} = 30

3. Comparamos. La segunda es mayor: 3030 contra 1010.

4. Interpretamos. Los dos intervalos miden lo mismo, pero la función sube más en el segundo. La tasa media depende del tramo elegido, no es una propiedad global de la función.

Respuesta: 1010 en el primero y 3030 en el segundo: crece más rápido en el segundo

12. Hallá b>0b > 0 para que la tasa de variación media de f(x)=x2f(x) = x^{2} en [0,b][0, b] valga 55.

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1. Escribimos la tasa en función de bb. f(b)−f(0)b−0=b2−0b\dfrac{f(b) - f(0)}{b - 0} = \dfrac{b^{2} - 0}{b}

2. Simplificamos. Para b≠0b \neq 0 queda bb.

3. Planteamos la ecuación. b=5b = 5

4. Despejamos y verificamos. b=5b = 5. Con ese valor, f(5)=25f(5) = 25 y la tasa da 255=5\dfrac{25}{5} = 5.

Respuesta: b=5b = 5

Integradores de Derivadas: practicá este tema junto con el resto de la unidad

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